Учебник для 7 класса

Алгебра

12. Что такое функция

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объёма и плотности металла, объём прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.

В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна а см, а его площадь равна S см². Для каждого значения переменной а можно найти соответствующее ему значение переменной S. Так, например:

если а = 3, то S = З² = 9;
если а = 15, то S = 15² = 225;
если а = 0,08, то S = 0,08² = 0,0064.

Зависимость переменной S от неременной а выражается формулой

S = а²

(по смыслу задачи а > 0).

Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а, называют зависимой переменной.

Пример 2. Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения.

Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой t, а пройденный путь (в километрах) буквой 8. Для каждого значения переменной t, где t > 0, можно найти соответствующее значение переменной s. Например:

если t = 0,5, то s = 50 • 0,5 = 25;
если t = 2, то s = 50 • 2 = 100;
если t = 3,5, то s = 50 • 3,5 = 175.

Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой

s = 50t.

В атом примере t является независимой переменной, a s — зависимой переменной.

Пример 3. На рисунке 8 изображён график температуры воздуха в течение суток.

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ≤ t ≤ 24, можно найти соответствующую температуру р (в градусах Цельсия). Например:

если t = 7, то р = -4;
если t = 12, то р = 2;
если t = 17, то р = 3;
если t = 22, то р = 0.

Здесь t является независимой переменной, а р — зависимой переменной.

Рис. 8

Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость для некоторого региона показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m — соответствующая стоимость проезда в рублях):

По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,

если n = 2, то m = 10;
если n = 6, то m = 36;
если n = 9, то m = 54.

В этом случае n является независимой переменной, a m — зависимой переменной.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Например, область определения функции в примере 1 состоит из всех положительных чисел, а в примере 3 — из всех чисел от 0 до 24.

Упражнения

Площадь прямоугольника со сторонами 9 см и х см равна S см². Выразите формулой зависимость S от х. Для значения аргумента х = 4; 6,5; 15 найдите соответствующее значение функции S.
Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, проходит за t ч расстояние s км. Задайте формулой зависимость s от t. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 2,4; 3,8.
Объём куба зависит от длины его ребра. Пусть а см — длина ребра куба, а V см³ — его объём. Задайте формулой зависимость V от а. Возьмите два каких-либо значения аргумента и вычислите соответствующие им значения функции.
По озеру плавала яхта. Расстояние s (в километрах), на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением времени движения t (в минутах). Изменение в в зависимости от t показано на рисунке 9. На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин? через 1 ч 20 мин? через 2 ч 30 мин? Какова область определения рассматриваемой функции?

Рис. 9.

На рисунке 10 показано изменение высоты сосны у (в метрах) в зависимости от её возраста х (в годах). Найдите:
а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет;
б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 60 до 100 лет.

Рис. 10.

Каждому натуральному числу п ставится в соответствие остаток г от деления этого числа на 4. Найдите г, если п равно 13, 34, 43, 100. В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент. Какова область определения этой функции? Какие числа служат значениями функции?
В таблице, составленной в результате измерений, показана зависимость атмосферного давления р (в миллиметрах ртутного столба) от высоты h (в километрах):

Каково атмосферное давление на высоте 1 км? 4 км?

На какой высоте атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст.? 404,8 мм рт. ст.?

В одном резервуаре 380 м1 воды, а в другом 1500 м3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?
Отметьте точки А(4;-3) и В(-2; 6). Проведите прямую АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью х и осью у.