|
|
Учебник для 7 класса Алгебра19. Умножение и деление степенейВыражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием: а2а3 - (аа) • (ааа) = ааааа = а5. Значит, а2а3 = а2+3.
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней. Аналогичным свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями.
Для доказательства используем определение степени и свойства умножения. Представим выражение аmаn сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени
Таким образом, аmаn = аm+n. Доказанное равенство выражает основное свойство степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Например:
Из основного свойства степени следует правило умножения степеней:
Приведём примеры: х8х7 = х8+7 = х15, yу5 = у1у5 = у1+5 = y6, b2b4b3 = b2+4+3 = b9. Выражение а7 : а2 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Оно имеет смысл при а ≠ 0. Если а ≠ 0, то это частное можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как а2 • а4 = а7 то по определению частного а7 : а3 = а4, т. е. а7 : а3 = а7-3. Мы видим, что частное а7 : а2 при а ≠ 0 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Аналогичным свойством обладает любое частное степеней с одинаковыми основаниями, отличными от нуля, в котором показатель степени делимого больше показателя степени делителя.
Равенство аm : аn = аm-n. будет доказано, если мы установим, что произведение аm-n и аn равно аm. Применив к произведению аm-nаn основное свойство степени, получим
Значит, по определению частного аm : аn = аm-n. Из доказанного свойства следует правило деления степеней:
Приведём примеры:
Мы вывели правило деления аm на аn для случая, когда m > n. Если это правило применить к частному аn : an, то получится аn : аn — аn-n = а0. Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком а ≠ 0 и любом натуральном n аn : аn = 1, то считают, что при а ≠ 0 а0 = 1.
Например, 20 = 1, (-3,5)0 = 1. Выражение 00 но имеет смысла. Теперь после введения нулевой степени мы можем применять формулу аmаn = аm+n (при а ≠ 0) и в том случае, когда m = 0 или n = 0. Формулу аm : аn = аm-n при а ≠ 0 можно применять при любых целых неотрицательных числах m и n, удовлетворяющих условию m ≥ n. Упражнения
|
|
|