|
|
Учебник для 7 класса Алгебра24. О простых и составных числахНапомним известные вам определения простого и составного числа. Натуральное число называется простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух натуральных делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным числом. Выпишем в порядке возрастания простые числа, входящие в первую сотню натуральных чисел. Получим 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
В настоящее время составлены таблицы, содержащие миллионы простых чисел. Естественно встаёт вопрос, существует ли наибольшее простое число. Ответ на этот вопрос ещё в III в. до н. э. дал великий греческий математик Евклид, который доказал, что «простых чисел больше, чем любое их число», т. е. бесконечно много. Проведём соответствующее доказательство. Допустим, что существует наибольшее простое число р. Составим произведение всех простых чисел от 2 до р включительно и обозначим его через а: а = 2 • 3 • 5 • ... • р. Рассмотрим число а + 1: а + 1 = 2 • 3 • 5 • ... • р+1. Число а + 1 не является простым, так как оно больше р, а по предположению р — наибольшее простое число. Оно не является также составным, так как но свойству делимости суммы не делится ни на одно из простых чисел, входящих в произведение 2 • 3 • 5 • ... • р, а других простых чисел по предположению нет. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и наибольшего простого числа не существует. Много раз делались попытки найти какое-либо выражение, значениями которого являются только простые числа. Рассмотрим, например, выражение F(n) = 2n2 + 29. Вычисляя его значения при n = 1, 2, 3, ..., найдём, что F(l) = 3, F(2) = 37, F(3) = 47, F(4) = 61, F(5) = 79, F(6) = 101, F(7) = 127. Мы видим, что каждый раз получается простое число. Можно предположить, что значение выражения F(n) при любом натуральном n является простым числом. Однако это не так. Например, число F(29) = 2 • 292 + 29 не является простым, так как из свойства делимости суммы следует, что оно делится на 29. Вообще, доказано, что не существует многочлена F(n) с целыми коэффициентами, значением которого при любом натуральном n является простое число. Всякое составное число, как известно, можно представить в виде произведения простых чисел или, как говорят, разложить на простые множители и притом единственным способом, если не учитывать порядок множителей. Разложим, например, на простые множители число 360: 360 = 2 • 180 = 2 • 2 • 90 = 2 • 2 • 2 • 45 = 2 • 2 • 2 • 3 • 15 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5. При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей обычно представляют в виде степени: 360 = 23 • З2 • 5. Разложением чисел на простые множители удобно пользоваться при нахождении их наибольшего общего делителя или наименьшего общего кратною. Найдём, например, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 504 и 2352. Разложив каждое из этих чисел на простые множители, получаем, что 504 = 23 • З2 • 7 и 2352 = 24 • 3 • 72. Чтобы найти наибольший общий делитель этих чисел, надо каждый из множителей взять в степени с наименьшим показателем, с каким он входит в эти числа, а чтобы найти их наименьшее общее кратное — с наибольшим показателем. Обозначив через d наибольший общий делитель этих чисел, а через к их наименьшее общее кратное, получаем, что d = 23 • 3 • 7 = 168, k = 23 • З2 • 72 = 7056. Пример. Наименьшее общее кратное двух чисел равно 96. Одно из этих чисел — число 6. Каким может быть другое число? Решение: Разложив числа 96 и 6 на простые множители, получаем, что 96 = 25 • 3, 6 = 2 • 3. Очевидно, что в разложение искомого числа на простые множители должны входить пять двоек и не более одной тройки. Значит, второе число либо равно 25, т. е. 32, либо равно 25 • 3, т. е. 96. Упражнения
|
|
|