Выражение 4х2у - 5ху + Зх - 1 представляет собой сумму одночленов 4х2у, -5xy, Зх и -1. Такие выражения называют многочле нами.
Определение: Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют члена ми многочлена. Так, членами многочлена 4х2у - 5ху + Зх - 1 являются одночлены 4х2у, -5ху, Зх и -1.
Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трёх членов — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.
В многочлене 5а2b + 2 + 4аb2 - 3а2b - 7 члены 5а2b и -3а2b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.
Каждый член многочлена 2а2b + 4аb2 - 5 является одночленом стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8ху + 6х2у3 - 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен 8ху + 6х2у3 - 9 является многочленом пятой степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Пример 2. Определим степень многочлена За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b.
Решение: Для этого приведём его к стандартному виду:
За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b = 2a4 + 5b.
Степень многочлена 8ab + 5b равна двум, поэтому степень многочлена За4 + 8ab - 2а4 - а4 + 5b также равна двум.
Упражнения
Назовите каждый член многочлена:
Приведите подобные члены многочлена:
Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению За2 + 6.2
Представьте в стандартном виде многочлен:
Запишите в стандартном виде многочлен:
Найдите значение многочлена:
Найдите значение многочлена:
Найдите значение многочлена 2х2 + 1 при х = 0; -2; 3; -4. Существует ли такое значение х, при котором значение многочлена равно нулю? отрицательно?
Докажите, что многочлен х2 + у2 + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.
Запишите в виде многочлена число, состоящее из:
а) а десятков и 6 единиц;
б) а сотен, 6 десятков и с единиц.
Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной:
Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной:
Какова степень многочлена:
Используя калькулятор, найдите значение многочлена:
(Задача исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb - а делится на 37.
1) Проверьте верность этого утверждения для разности: