Умножим многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
(а + b)(c + d).
Обозначим двучлен а + b буквой х и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.
В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)с + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.
Итак,
(а + c)(с + d) = ас + bc + ad + bd.
Произведение многочленов а + b и с + d мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.
Произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена.
При умножении многочлена на многочлен пользуются правилом:
чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов, на многочлен, содержащий n членов, в произведении (до приведения подобных членов) должно получиться mn членов. Этим можно пользоваться для контроля.
В древности справедливость некоторых равенств при положительных значениях переменных математики доказывали геометрически. Так, великий греческий математик Евклид в своём трактате «Начала» (III в. до и. а.) справедливость равенства (а + b)(c + d) = ас + bс + ad + bd доказывал с помощью чертежа, изображённого на рисунке 68.
Рис. 68
Пример 1. Умножим многочлен 4х2 + 2ху - у2 на многочлен 2х - у.
Решение: Имеем
Пример 2. Упростим выражение (2а - 3)(5 - а) - За(4 - а).
Решение: Имеем
Пример 3. Докажем, что при любом натуральном п значение выражения n(n - 5) - (n - 14)(n + 2) кратно 7.
Решение: Выполним преобразование:
При любом натуральном n произведение 7 (n + 4) делится на 7, а значит, и значение выражения n(n - 5) - (n - 14)(n + 2) делится на 7.
Пример 4. Докажем, что равенство
(а + b) (а3 - a2b + аb2 - b3) = (а - b) (а3 + а2b + аb2 + b3)
является тождеством, или, как говорят иначе, докажем тождество.
Решение: Преобразуем обе части равенства:
Так как левая и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению, то они тождественно равны между собой. Значит, исходное равенство — тождество.
Иногда, для того чтобы доказать тождество, преобразуют левую часть равенства в правую или правую в левую.
Упражнения
Выполните умножение:
Упростите выражение:
Представьте в виде многочлена выражение:
Запишите в виде многочлена выражение:
Выполните умножение:
Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:
Представьте в виде многочлена выражение:
Запишите в виде многочлена:
Представьте в виде многочлена:
Запишите в виде многочлена выражение:
Упростите выражение:
Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения (За - 2b)(2а - 3b) - 6а(а - b) + 7аb? Выберите верный ответ.
1. Переменных а и b
2. Только переменной а
3. Только переменной b
4. Ни одной из переменных а и b, так как значение выражения не зависит от значений переменных
Зная, что а = Зх - 1, b = х + 1, с = 2х + 4, d = 6х - 5, представьте в виде многочлена с переменной х выражение ас - bd.
Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (х - 3)(х + 7) - (х + 5)(х - 1) равно -16;
б) значение выражения х4 - (х2 - 1)(х2 + 7) равно 49.
Докажите тождество:
Докажите тождество:
Докажите, что значение выражения не зависит от переменной х:
Докажите, что выражение (у - 6)(у + 8) - 2(у - 25) при любом значении у принимает положительное значение.
Докажите, что при всех целых n значение выражения:
Пусть а, b, с и d — четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd - ab кратна 16.
Решите уравнение:
Найдите корень уравнения:
Докажите, что:
а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n - 1 )(n + 1) - (n - 7)(n - 5) кратно 12.
Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.
Три последовательных нечётных числа таковы, что если из произведения двух бблыних чисел вычесть произведение двух меныпих, то получится 76. Найдите эти числа.
Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см2. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на 30 см2 меньше площади прямоугольника.
Для выполнения планового задания к определённому сроку бригада рабочих должна была изготовлять ежедневно 54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже за один день до срока не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней работала бригада?
Тракторная бригада должна была по плану вспахивать ежедневно 112 га. Перевыполняя план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров нужно было вспахать бригаде?
