Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени). К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.
Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например,
— целые выражения.
Примерами целых выражений служат такие выражения:
Выражение не является целым, так как в нём используется деление на выражение с переменной.
Выражение 10у3 + (3x + у)(х2 - 10у2) является суммой одночлена 10у3 и произведения многочленов Зх + у и х2 - 10у2. Выражение 2b(b2 - 10с2) - (b3 + 2с2) является разностью мелсду произведением одночлена 2b и многочлена b2 - 10c2 и многочленом b3 + 2с2. Мы знаем, что сумму, разность и произведение многочленов можно преобразовать в многочлен, поэтому каждое из этих целых выражений можно представить в виде многочлена.
Выражение отличается от рассмотренных тем, что в нём содержится деление на число, отличное от нуля. Если деление заменить умножением на число, обратное делителю, то получится выражение , которое, как и предыдущио выражения, составлено из многочленов с помощью действий сложения, вычитания, умножения. Поэтому это целое выражение также можно представить в виде многочлена.
Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.
Мы представили данное выражение в виде суммы 4n + 11. При любом целом л значение первого слагаемого делится на 4; второе слагаемое — число 11 — не делится на 4. Поэтому при любом целом л значение суммы 4n + 11, а значит, и значение исходного выражения (n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) не делится на 4.
Упражнения
Какие из выражений являются целыми?
Представьте в виде многочлена:
а) сумму многочлена x3 + 7x2 + 8 и произведения многочленов x2 - 6х + 4 и x - 1;
б) разность произведения многочленов а2 + 7а - 4 и а - 3 и многочлена а3 + 4а2 - 29а +11.
Преобразуйте в многочлен:
Упростите выражение:
Зная, что а = 2х - 5, b = 8х + 1, с = 4х - 2, представьте в виде многочлена с переменной х выражение ab - с2.
Докажите, что ни при каком целом n значение выражения (2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13) не делится на 6.
(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение
(n + 8)(n - 4) - (n + 3)(n - 2) + ...
пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом п делится на 3.
1) Преобразуйте в многочлен каждое из произведений двучленов и выполните вычитание.
2) Обсудите друг с другом, какому условию должно удовлетворять пропущенное число.
3) Впишите вместо многоточия каждый какое-либо число, удовлетворяющее условию задачи.
4) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
Упростите выражение:
Докажите тождество:
Представьте данный трёхчлен, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
Разложите на множители:
От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем на путь от деревни до станции.
Из пункта A связной доставил донесение в пункт В за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на 1 км/ч и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой скоростью шёл связной из пункта А в пункт В.