Учебник для 7 класса

Алгебра

43. Способ подстановки

Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными, называемый способом подстановки. Начнём с примера.

Пример 1. Решим систему уравнений

(1)

Решение: Выразим из первого уравнения у через х: у = 7 - Зх.

Подставив во второе уравнение вместо у выражение 7 - Зх, получим систему

(2)

Нетрудно показать, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:

Подставив в равенство у = 7 - Зх вместо х число 1, найдём соответствующее значение у:

Пара (1; 4) — решение системы (2), а значит, и системы (1).

Решение системы (1) мы свели к решению системы (2). При этом мы воспользовались тем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений системы (1) пересекаются в той же точке, что и графики уравнений системы (2), т. е. все три прямые пересекаются в одной точке (рис. 79).

Рис. 79

Мы решили систему (1), используя способ подстановки. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:

1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример 2. Решим систему уравнений

Решение: Выразим из второго уравнения х через у: Зх = 9 - 4у, х = .

Подставим в первое уравнение вместо буквы х выражение

Решим полученное уравнение с переменной у:

Подставим в уравнение х = вместо у число 4,5:

Упражнения

Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Найдите решение системы уравнений:
Решите систему уравнений:
Решите систему уравнений:
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений:
Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
Найдите решение системы уравнений:
Решите систему уравнений:
Найдите решение системы уравнений:
Решите систему уравнений:
Упростите выражение:
Разложите на множители:
Докажите, что всо точки графика функции, заданной формулой у = х² - 4х + 5, расположены в верхней полуплоскости.