Учебник для 8 класса

Алгебра

11. Иррациональные числа

Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ — единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка.

Измерим, например, длину отрезка ОВ (рис. 9). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОВ два раза, и при этом получается остаток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка О В с точностью до 1:

Рис. 9

Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей (рис. 10). Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ. Число 2,3 есть приближённое значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до 0,1:

Рис. 10

Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближённые значения длины отрезка ОВ (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т. д.

В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге.

В первом случае результатом измерения окажется натуральное число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Пример 1. Пусть отрезок ОС равен единичного отрезка. При десятичном измерении его длины получим число 1,75, т. е. ту же десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Результат измерения можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби 1,75000... .

Пример 2. Пусть отрезок OF равен — единичного отрезка. При десятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, получится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666... .

Пример 3. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок (рис. 11).

Рис. 11

Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис. 12). Из рисунка 12 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2.

Рис. 12

При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимои дроби , где m — целое число, n — натуральное.

Так как = 2, то = 2 и m² = 2n². Число 2n² чётное, значит, и равное ему число m² чётное. Но тогда и само число m является чётным (если бы число m было нечётным, то и число m² было бы нечётным). Поэтому число m можно представить в виде m = 2k, где k — целое число. Подставим 2k вместо m в равенство m² = 2n². Получим: (2k)² = 2n², 4k² = 2n², 2k² = n².

Число 2k² чётное, значит, число n² тоже чётное. Тогда и число n является четным, т. е. числитель и знаменатель дроби — числа чётные. Это противоречит тому, что дробь несократима.

Значит, неверно предположение, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным.

Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. Наоборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятичную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка ОА выражается этой дробью.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число. Говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R (от первой буквы латинского слова realis — реальный, существующий в действительности).

Если А(х₁) и В(х₂) — две точки координатной прямой, то расстояние между этими точками, т. е. длину отрезка АВ, можно найти по формуле

AB = |х₂ - х₁|.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно записать в виде отношения , где m — целое число, а n — натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает «отрицание»). Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где m — целое число, а n — натуральное.

Таким образом,

Приведём примеры иррациональных чисел:

3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т. д. нулями);

-5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).

Иррациональным числом является число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру:

π = 3,1415926... .

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих положительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй. Поэтому

2,36366... < 2,37011... .

Сравним числа 0,253... и -0,149... . Первое из этих чисел положительное, а второе — отрицательное. Поэтому

0,253... > -0,149... .

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причём действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближёнными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближённые значения, получают более точное значение результата.

Пример 4. Найдём приближённое значение суммы чисел а и b,

где а = , b = 1,7132... .

Решение: Возьмём приближённые значения слагаемых с точностью до 0,1:

а ≈ 0,3, b ≈ 1,7. Получим:

а + b ≈ 0,3 + 1,7 = 2,0.

Если взять приближённые значения слагаемых с точностью до 0,01, т. е. а ≈ 0,33 и b ≈ 1,71, то получим:

а + Ь ≈ 0,33 + 1,71= 2,04.

Пример 5. Найдём длину окружности, радиус r которой равен 5 м.

Решение: Длина окружности l вычисляется по формуле l = 2πr. Взяв к ≈ 3,14, получим

l ≈ 2 • 3,14 • 5 = 31,4 (м).

Упражнения

276. Приведите пример:

     а) рационального числа;
     б) иррационального числа.

277. Верно ли, что:

     а) каждое рациональное число является действительным;
     б) каждое действительное число является рациональным;
     в) каждое иррациональное число является действительным;
     г) каждое действительное число является иррациональным?

278. Среди чисел ; 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; к укажите рациональные и иррациональные.
279. Верно ли, что:

     

280. Сравните:

     

281. Какое из чисел больше:

     

282. Сравните числа:

     

283. Найдите расстояние между точками М и К координатной прямой, если:

     

284. Какая из точек С или D координатной прямой ближе к точке М, если:

     а) С (4,514), D (-1,9368...), М (1,304);
     б) С (-2,4815...), D (11,454), М (4,586).

285. Расположите в порядке возрастания числа

     4,62; 3,(3); -2,75...; -2,63... .

286. Расположите в порядке убывания числа

     1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); -0,078... .

287. Какие целые числа расположены между числами:

     а) -3,168... и 2,734...;
     б) -5,106... и -1,484...;
     в) -4,06 и -1,601;
     г) -1,29 и 0,11?

288. Найдите приближённое значение выражения а + b, где а = 1,0539... и b = 2,0610..., округлив предварительно а и b:

     а) до десятых;
     б) до сотых;
     в) до тысячных.

289. Найдите приближённое значение выражения а - b, где а = 59,678... и b = 43,123..., округлив предварительно а и b:

     а) до десятых;
     б) до сотых.

290. Найдите приближённое значение длины окружности, радиус которой равен 4,5 см (число к округлите до сотых).
291. Найдите приближённое значение площади круга, радиус которого равен 10 м (число пи округлите до сотых).
292. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма а + b, где а = 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?
293. Известно, что a², b², а - b — рациональные числа и а ≠ b. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма а + b?
294. Упростите выражение:

     

295. Найдите значение выражения:

     

296. Известно, что график функции у = проходит через точку А (4; -0,5). Найдите k и постройте этот график.
297. При каких значениях а и b графики функций у = х + b и у = ах - 2b пересекаются в точке (3; 1)?

Контрольные вопросы и задания

1. Какие числа образуют множество действительных чисел?
2. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
3. Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом.
4. Верно ли, что: