|
|
Учебник для 8 класса Алгебра16. Квадратный корень из произведения и дробиСравним значения выражений :
Мы видим, что . Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.
Теорема 1
Каждое из выражений имеет смысл, так как а ≥ 0 и b ≥ 0. Покажем, что выполняются два условия:
Так как выражения и принимают лишь неотрицательные значения, то произведение • неотрицательно. Используя свойство степени произведения, получим
Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство
Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух. Например, если а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥ 0, то . Действительно,
Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:
Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби. Теорема 2
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Проведите доказательство самостоятельно. Итак, справедливо ещё одно свойство арифметического квадратного корня:
Пример 1. Найдём значение выражения . Решение: Воспользуемся теоремой о корне из произведения:
Пример 2. Вычислим значение выражения . Решение: Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения:
Пример 3. Найдём значение выражения . Решение: По теореме о корне из дроби имеем
Поменяв в тождествах
местами их ле-вые и правые части, получим
Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней. Пример 4. Найдём значение произведения . Решение: Имеем . Пример 5. Найдём значение частного . Решение: Имеем Упражнения
|
|
|