Учебник для 8 класса

Алгебра

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

где а, b и с — многочлены, причём с — ненулевой многочлен.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

Пример 1. Сложим дроби .

Решение:

Пример 2. Вычтем из дроби дробь .

Решение:

Пример 3. Упростим выражение

Решение: Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:

Пример 4. Сложим дроби .

Решение: Знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью. Получим

Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Упражнения

53. Выполните сложение или вычитание:

    

54. Представьте в виде дроби:

    

55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:

    

56. Упростите выражение:

    

57. Упростите выражение:

    

58. Докажите, что:

    а) выражение тождественно равно 4;
    б) выражение тождественно равно 2.

59. Найдите значение выражения:

    

60. Наидите значение выражения

    

    при а = -0,8; b = -1,75. Нет ли в задаче лишних данных?

61. Упростите выражение:

    

62. Выполните сложение или вычитание дробей:

    

63. Докажите, что при всех допустимых значениях л: значение выражения не зависит от x:

    

64. Упростите выражение:

    

65. Преобразуйте выражение:

    

66. Пользуясь тождеством , представьте дробь в виде суммы дробей:

    

67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:

    

68. Представьте дробь виде суммы двучлена и дроби.

    Выясните, при каких натуральных n данная дробь принимает натуральные значения.

69. При каких целых значениях m дробь принимает целые значения?
70. Решите уравнение:

    

71. Разложите на множители:

    

72. Укажите допустимые значения переменной в выражении: