Учебник для 8 класса

Алгебра

28. Числовые неравенства

Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, ≤, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = b, а ≤ b, а > b.

Рассмотрим примеры.

1. Сравним обыкновенные дроби и . Для этого приведём их к общему знаменателю:

Так как 35 > 32, то > .

2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 < 5, то 3,6748 < 3,675.

3. Сравним обыкновенную дробь и десятичную дробь 0,45.

Обратив дробь в десятичную, получим, что = 0,45.

4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е. -15 > -23.

В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении:

Заметим, что если разность а - b равна нулю, то числа а и b равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее — точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и b — некоторые числа. Обозначим разность а - b буквой с. Так как а - b = с, то а = b + с.

Если с — положительное число, то точка с координатой b + с лежит правее точки с координатой b, а если с — отрицательное число, то левее (рис. 22).

Рис. 22

Значит, если а > b, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой b, а если а < b — левее.

Покажем, как приведённое определение используется при решении задач.

Пример 1. Докажем, что при любых значениях переменной а верно неравенство

(а - 3)(а - 5) < (а - 4)².

Решение: Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем её:

(а - 3)(а - 5) - (а - 4)² =
= а² - За - 5а + 15 - а² + 8а - 16 = -1.

При любом а рассматриваемая разность отрицательна и, следовательно, верно неравенство

(а - 3) (а - 5) < (а - 4)².

Пример 2. Пусть а и b — положительные числа. Как известно, а + b число называется средним арифметическим чисел а и b, число — средним геометрическим, число средним гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и b связаны следующим соотношением:

Решение: Докажем сначала, что

Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства:

При a > 0 и b > 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство

Рассмотрим теперь разность -

При а > 0 и b > 0 составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство

Итак, мы доказали, что если а > 0 и b > 0, то

Упражнения

724. Сравните числа а и b, если:

     а) а - b = -0,001;
     б) а - b = 0;
     в) а - b = 4,3.

725. Известно, что а < b. Может ли разность а - b выражаться числом 3,72? -5? 0?
726. Даны выражения

     За (а + 6) и (За + 6) (а + 4).

     Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.

727. Даны выражения

     46(6 + 1) и (26 + 7) (26 - 8).

     Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

     

729. Докажите неравенство:

     

730. Верно ли при любом х неравенство:

     

731. Докажите неравенство:

     

732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь , где а и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

     1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь . (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)
     2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.
     3) Проведите доказательство: один — для случая а < b, а другой — для случая а > b.
     4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

733. Докажите, что при а > 0 верно неравенство

     

734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
735. Докажите неравенство:

     

736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

     

737. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.

     

738. (Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и а² > b², то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:

     

     1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
     2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

739. Докажите, что при а ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство

     

740. Что больше: а³ + b³ или ab(a + b), если а и b — неравные положительные числа?
741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.
742. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?
743. Найдите значение дроби при х = - .
744. Сократите дробь:

     

745. Решите уравнение: