Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
Теорема 1
Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.
Действительно, если разность а - b --- положительное число, то
разность - а --- отрицательное число, и наоборот.
Теорема 2
Если а < b и b < с, то а < с.
Докажем, что разность а - с — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и -b и сгруппируем слагаемые:
а - с = а - с + b - b = (а - b) + (b - с).
По условию а < b и b < с. Поэтому слагаемые а - b и b - с — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а < с. О
Аналогично доказывается, что если а > b и b > с, то а > с.
Геометрическая иллюстрация этих свойств дана на рисунке 23.
Рис. 23
Теорема 3
Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.
Преобразуем разность (а + с) - (b + с):
(о + с) - (b + с) = а - b.
По условию а < b, поэтому а - b — отрицательное число. Значит, и разность (а + b) - (b + с) отрицательна. Следовательно, а + с < b + с.
Итак,
если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Теорема 4
Если а < b и с — положительное число, то ас < bс. Если а < b и с — отрицательное число, то ас > bс.
Представим разность ас - bс в виде произведения:
ас - bс = с (а - b).
Так как а < b, то а - b — отрицательное число. Если с > 0, то произведение с(а - b) отрицательно, и, следовательно, ас < bс. Если с < 0, то произведение с (а - b) положительно, и, следовательно, ас > bс.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления. Итак,
если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие
Если а и b — положительные числа и а < b, то > .
Разделим обе части неравенства а < b на положительное число аb: . Сократив дроби, получим, что < , т. е. > .
Приведём пример использования рассмотренных свойств неравенств.
Пример. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2 < а < 54,3.
Решение: Периметр равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле Р = За. Умножим на 3 обе части каждого из неравенств 54,2 < а и а < 54,3 и запишем результат в виде двойного неравенства:
54,2 • 3 < За < 54,3 • 3, 162,6 < За < 162,9.
Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм.
Упражнения
Отметьте на координатной прямой точки, имеющие координаты а, b, с, d и е, если а < b, с > b, с < d, а > е.
Пусть m, n, р и q — некоторые числа, причём m > р, n > m, n < q. Сравните, если это возможно, числа р и n, р и q, q и m. При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой.
Известно, что а < b. Сравните, если возможно, а и b + 1, а - 3 и b, а - 5 и b + 2, a + 4 и b - 1.
Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и 6, если известно, что верны неравенства:
Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям неравенства 18 > - 7 прибавить число - 5; число 2,7; число 7;
б) из обеих частей неравенства 5 > - 3 вычесть число 2; число 12; число - 5;
в) обе части неравенства - 9 < 21 умножить на 2; на - 1; на - ;
г) обе части неравенства 15 > - 6 разделить на 3; на - 3; на - 1.
Известно, что а < b. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;
б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5;
в) обе части этого неравенства умножить на 8;
г) обе части этого неравенства разделить на ;
д) обе части этого неравенства умножить на - 4,8;
е) обе части этого неравенства разделить на - 1.
Известно, что а < b. Поставьте вместо звёздочки знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:
Известно, что с > d. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство:
Известно, что а, b, с и d — положительные числа, причём а > b, d < b, с > а. Расположите в порядке возрастания числа
(Для работы в парах.) Известно, что а — положительное число.
а) Расположите в порядке возрастания числа:
б) Расположите в порядке убывания числа:
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.
Известно, что 3 < а < 4. Оцените значение выражения:
Зная, что 5 < х < 8, оцените значение выражения:
Пользуясь тем, что 1,4 < < 1,5, оцените значение выражения:
Пользуясь тем, что 2,2 < < 2,3, оцените значение выражения:
а) Оцените периметр квадрата со стороной а см, если 5,1 ≤ а ≤ 5,2.
б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен Р см, если 15,6 ≤ Р ≤ 15,8.
> 
.
. Сократив дроби, получим, что 
;
< 1,5, оцените значение выражения:
< 2,3, оцените значение выражения:
, если:
