|
|
Учебник для 8 класса Алгебра31. Погрешность и точность приближенияПо графику функции у = х2 нашли приближённые значения этой функции при х = 1,5 и х = 2,1: если х = 1,5, то у ≈ 2,3;
По формуле у = х2 можно найти точные значения этой функции: если х = 1,5, то у = 1,52 = 2,25;
Приближённое значение отличается от точного значения в первом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как: 2,3 - 2,25 = 0,05; 4,41 - 4,4 = 0,01. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т. е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность приближённого значения, равного 2,3, есть 0,05, а абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,4, есть 0,01: |2,25 - 2,3| = |-0,05| = 0,05; |4,41 - 4,4| = 0,01. Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Пусть, например, при измерении длины отрезка АВ, изображённого на рисунке 24, получен результат: АВ ≈ 4,3 см.
Рис. 24 Мы не можем найти абсолютную погрешность приближённого значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ. В подобных случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом примере в качестве такого числа можно взять число 0,1. В самом деле, цена деления линейки 0,1 см, и поэтому абсолютная погрешность приближённого значения, равного 4,3, не больше чем 0,1, т. е. |АВ - 4,3| ≤ 0,1. Говорят, что число 4,3 есть приближённое значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1. Вообще, если х ≈ а и абсолютная погрешность этого приближённого значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближённым значением х с точностью до h. Пишут: х ≈ а с точностью до h. Используют также такую запись: х = а ± h. Запись х = а ± h означает, что точное значение переменной х заключено между числами а - h и а + h, т. е. a - h ≤ x ≤ a + h. Например, на рулоне обоев написано, что его длина равна 18 ± 0,3 м. Значит, если l — истинное значение длины рулона (в метрах), то 18 - 0,3 ≤ l ≤ 18 + 0,3, т. е. 17,7 ≤ l ≤ 18,3. Точность приближённого значения зависит от многих причин. В частности, если приближённое значение получено в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Например, на медицинском термометре деления нанесены через 0,1°. Это даёт возможность измерять температуру с точностью до 0,1°. Комнатный термометр, на котором деления нанесены через 1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°. На торговых весах, у которых цена деления шкалы 5 г, можно взвешивать с точностью до 5 г. Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.
Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближённого значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности. Рассмотрим такой пример. При измерении (в сантиметрах) толщины Ь стекла и длины l книжной полки получили такие результаты: b = 0,4 ± 0,1; l =100,0 ± 0,1. В первом случае относительная погрешность не превосходит • 100%, т. е. 25%, а во втором не превосходит • 100%, т. е. 0,1%. Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точностью до 25%, а во втором — с относительной точностью до 0,1%. Качество второго измерения намного выше, чем первого. Упражнения
Контрольные вопросы и задания
|
|
|