Неравенство 5х - 11 > 3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5 • 4 - 11 >3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 • 2 - 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х - 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства.
Определение: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства:
1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Например, неравенство 18 + 6х > 0 (1) равносильно неравенству 6x > -18 (2), а неравенство 6х > -18 равносильно неравенству х > -3.
Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.
Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 + 6а - 18 > 0 - 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).
Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.
Приведём примеры решения неравенств.
Пример 1. Решим неравенство 16x > 13x + 45.
Решение: Перенесём слагаемое 13x с противоположным знаком в левую часть неравенства:
16х - 13х > 45.
Приведём подобные члены:
3х > 45.
Разделим обе части неравенства на 3:
х > 15.
Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; +оо), изображённый на рисунке 42.
Рис. 42
Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; +оо) или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток.
Решение: Раскроем скобки в левой части неравенства:
15х - 23x - 23 > 2x + 11.
Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены:
Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:
x < -3,4.
Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-оо; -3,4), изображённый на рисунке 43.
Рис. 43
Ответ: (-оо; -3,4).
Пример 3. Решим неравенство
Решение: Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на 6. Получим
Отсюда
Ответ: (-12; +оо).
В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах > b или ах < b, где а и b — некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.
В приведённых примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может случиться, что при решении неравенства мы придём к линейному неравенству вида 0 • х > b или 0 • х < b. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.
Пример 4. Решим неравенство
2(х + 8) - 5х < 4 - Зх.
Решение: Имеем
2х + 16 - 5х < 4 - Зх,
2х - 5х + Зх < 4 - 16.
Приведём подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0 • х:
0 • х < -12.
Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении х оно обращается в числовое неравенство 0 < -12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.
Ответ: решений нет.
Упражнения
Является ли решением неравенства 5у > 2(у - 1) + 6 значение у, равное:
Укажите два каких-либо решения неравенства 2х < х + 7.
Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
Решите неравенство:
Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
Решите неравенство 5х + 1 > 11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.
Решите неравенство Зx - 2 < 6. Является ли решением этого неравенства число: 4; ?
Решите неравенство:
Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной
а) При каких значениях х двучлен 2х - 1 принимает положительные значения?
б) При каких значениях у двучлен 21- Зу принимает отрицательные значения?
в) При каких значениях с двучлен 5 - Зс принимает значения, большие 80?
а) При каких значениях а значения двучлена 2а - 1 меньше значений двучлена 7 - 1,2а?
б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р - 1 больше значений двучлена 1 + 1,1 р?
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
При каких значениях у:
а) значения дроби больше соответствующих значений дроби ;
б) значения дроби меньше соответствующих значении дроби ;
в) значения двучлена 5у - 1 больше соответствующих значении дроби ;
г) значения дроби меньше соответствующих значении двучлена 1 - бу?
Решите неравенство:
Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
Решите неравенство:
Решите неравенство:
а) При каких значениях а сумма дробей положительна?
б) При каких значениях b разность дробей отрицательна?
Решите неравенство:
При каких значениях х функция, заданная формулой у = 2х +13, принимает положительные значения? отрицательные значения?
При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
Найдите множество значений а, при которых уравнение
(а + 5)х2 + 4x - 20 = 0
не имеет корней.
Найдите множество значений k, при которых уравнение
(k - 4)x2 + 16х - 24= 0
имеет два корня.
Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?
Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм?
Одна из переплётных мастерских берёт по 48 р. за книгу и ещё 140 р. за оформление заказа, а другая — по 56 р. за книгу и 90 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.
За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.
Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
Найдите значение дроби при х = 1 - .
Решите уравнение:
Решите графически уравнение = х2.
Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.