4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.
Пример 1. Сложим дроби .
Решение: Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а3b4. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b3 и 2а2.
Имеем
Пример 2. Преобразуем разность .
Решение: Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:
Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a + b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.
Имеем
Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.
Пример 3. Упростим выражение .
Решение: Представим выражение а - 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:
Упражнения
Представьте в виде дроби:
Выполните сложение или вычитание:
Преобразуйте в дробь выражение:
Выполните сложение или вычитание:
Представьте в виде дроби:
Преобразуйте в дробь выражение:
Выполните вычитание дробей:
Преобразуйте в дробь выражение:
Преобразуйте в дробь выражение:
Представьте в виде дроби:
Упростите выражение:
Представьте в виде дроби:
Преобразуйте в дробь выражение:
Выполните сложение или вычитание дробей:
Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у.
Упростите выражение:
Упростите выражение:
Преобразуйте в дробь выражение:
Выполните вычитание дробей:
Выполните сложение или вычитание дробей:
Преобразуйте в дробь выражение:
Упростите выражение:
Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:
Представьте в виде дроби:
Преобразуйте в дробь выражение:
Упростите выражение:
Докажите, что тождественно равны выражения:
(Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:
Укажите неверный ответ.
Докажите тождество
Используя это тождество, упростите выражение
Две речные пристани А и B расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (ч) потребуется катеру на путь от А до Б и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:
а) s = 50, v = 25;
б) s = 105, v = 40.
Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.
Функция задана формулой у = . Найдите значение функции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции равно 3; 0; -9?
Постройте графики функций у = -4х + 1 и у = 2х - 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.
В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах: