Пусть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой .
В этой задаче переменные х и у принимали лишь положительные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида у = , в которой переменные х и у могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причём k ≠ 0. Такие функции называют обратными пропорциональностями.
Определение: Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y = , где х — независимая переменная и k — не равное нулю число.
Областью определения функции у = является множество всех чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение имеет смысл при всех х ≠ 0.
Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. Пусть х1 и х2 — значения аргумента (x1 ≠ 0, х2 ≠ 0), а у1 и у2 — соответствующие им значения функции. Так как k ≠ 0, то у1 ≠ 0 и у2 ≠ 0.
Из формулы у = следует, что х1у1 = к и х2у2 = к, и потому верна пропорция , т. е. отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции. С этим связано название функции — обратная пропорциональность.
В повседневной жизни мы часто встречаемся со случаями, когда зависимость между переменными является обратной пропорциональностью.
Приведём примеры.
Пример 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со скоростью v км/ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вычисляется по формуле t = , т. е. зависимость t от v является обратной пропорциональностью.
Пример 2. Масса m (кг) муки, которую можно купить на 85 р. по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле v = , т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональностью.
Построим график функции у = . Для этого найдём значения у, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям х:
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице (рис. 3).
Рис. 3
Выясним некоторые особенности графика функции у = . Так как число нуль не входит в область определения функции, то на графике нет точки с абсциссой 0, т. е. график не пересекает ось у. Так как ни при каком x значение у не равно нулю, то график не пересекает ось х. Положительным значениям х соответствуют положительные значения у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее значение у. Например,
если х = 10, то у = 1,2;
если х = 100, то у = 0,12;
если х = 1000, то у = 0,012.
Значит, чем больше положительная абсцисса точки графика, тем ближе эта точка к оси абсцисс. Для достаточно больших значений х это расстояние может стать как угодно малым. Чем ближе положительная абсцисса точки графика к нулю, тем больше ордината этой точки. Например,
если х = 0,03, то у = 400;
если х= 0,0001, то у = 120 000.
График функции у = показан на рисунке 4. Он состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Рис. 4
Одна из этих ветвей расположена в первой координатной четверти, а другая — в третьей. Такой же вид имеет график функции y = при любом k > 0.
На рисунке 5 построен график функции у = - . Он так же, как и график функции у = представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Рис. 5
Однако в отличие от графика функции у = одна из них лежит во второй, а другая — в четвёртой координатной четверти.
График функции у = при любом k ≠ 0 имеет такой же вид, что и график функции у = - .
Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
Упражнения
Функция задана формулой у = . Заполните таблицу.
Обратная пропорциональность задана формулой у = . Заполните таблицу.
Двигаясь со скоростью v км/ч, поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: a) v от t; б) t от v.
Обратная пропорциональность задана формулой у . Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли графику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100), С (400; 0,025), D (500; -0,02).
Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.
На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой у = .
Рис. 6
Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 2; 4; -1; -4; -5;
б) значение х, которому соответствует значение у, равное -4; —2; 8.
Постройте график функции, заданной формулой у = - . Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;
б) значение х, которому соответствует значение у, равное 8; -2.
Постройте график функции у = и, используя его, решите уравнение:
Решите графически уравнение:
(Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функции у = .
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.
Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см3. Выразите формулой зависимость b от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.
Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку:
На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения.
Рис. 7
С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В?
Определите знак числа k, зная, что график функции у = расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:
Рис. 8
Укажите эту функцию.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:
(Задача-исследование.) При каких значениях а и b является тождеством равенство
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
Упростите выражение
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правила умножения и деления дробей. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
Какая функция называется обратной пропорциональностью?
В каких координатных четвертях расположен график функции у = при k > 0? при k < 0?
.
, в которой переменные х и у могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причём k ≠ 0. Такие функции называют обратными пропорциональностями.
, т. е. отношение двух произвольных значений аргумента равно обратному отношению соответствующих значений функции. С этим связано название функции — обратная пропорциональность.
, т. е. зависимость t от v является обратной пропорциональностью.
, т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональностью.
. Для этого найдём значения у, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям х:
. Заполните таблицу.
. Заполните таблицу.
. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли графику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100), С (400; 0,025), D (500; -0,02).
и, используя его, решите уравнение:
