Учебник для 8 класса

Алгебра

10. Рациональные числа

В курсе математики вы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счёте, называются натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.

Кроме целых, вам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный),
множество целых чисел — буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число),
множество рациональных чисел — буквой Q (от первой буквы французского слова quotient — отношение).

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак ∈. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2 ∈ N. Число -2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака ∉: -2 ∉ N.

Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А. В таких случаях множество В называют подмножеством множества А. Это записывают так: В ⊂ А (читают: В — подмножество множества А).

Ведём теперь понятие разности множеств.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Например, разностью множества целых чисел Z и множества натуральных чисел N является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m — целое число, а n — натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами.

Например,

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим в виде десятичной дроби число . Для этого разделим числитель дроби на её знаменатель. Получим:

Таким образом, = 0,125.

Точно так же можно показать, что = 0,4; 1 = 1,15; - = -0,025.

Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу . Делим числитель на знаменатель:

Первым остатком, полученным при делении, является само число 8. Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять получили в остатке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к остаткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом получим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит, деление никогда не закончится.

Говорят, что дробь обращается в бесконечную десятичную дробь 0,216216...:

= 0,216216... .

Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последовательно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:

= 0,(216).

Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде.

Число также записывается в виде бесконечной десятичной дроби:

= 0,5833... = 0,58(3).

Эта запись читается: нуль целых, пятьдесят восемь сотых, три в периоде.

Точно так же можно показать, что

5 = 5,1(6), - = - 0,(45).

Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:

2,5 = 2,5000...; -3 = -3,000... .

Таким образом,

каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Например,

Эти равенства легко проверить, выполнив деление.

Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Упражнения

Верно ли, что:
Найдите разность множеств А и В, если:
а) А — множество чётных чисел, В — множество чисел, кратных 3;
б) А — множество делителей числа 18, В — множество делителей числа 12;
в) А — множество треугольников, В — множество прямоугольных треугольников;
г) А — множество прямоугольников, В — множество ромбов.
Представьте в виде отношения целого числа к натуральному несколькими способами числа
Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа
Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:
Сравните рациональные числа:
Укажите какое-либо число, которое:
Укажите несколько чисел, заключённых между:
Назовите пять чисел, заключённых между числами:
Упростите выражение:
Докажите, что:
а) квадрат чётного числа есть число чётное;
б) квадрат нечётного числа есть число нечётное.
Найдите:
Запишите без знака модуля выражение: