>>> Перейти на полный размер сайта >>> Учебник для 8 класса Алгебра10. Рациональные числаВ курсе математики вы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счёте, называются натуральными числами. Они образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.
Кроме целых, вам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.
Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак ∈. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2 ∈ N. Число -2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака ∉: -2 ∉ N. Пусть каждый элемент множества В является элементом множества А. В таких случаях множество В называют подмножеством множества А. Это записывают так: В ⊂ А (читают: В — подмножество множества А). Ведём теперь понятие разности множеств. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Например, разностью множества целых чисел Z и множества натуральных чисел N является множество, состоящее из всех целых отрицательных чисел и нуля.
Например,
Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное). Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей. Представим в виде десятичной дроби число
Таким образом, Точно так же можно показать, что Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу
Первым остатком, полученным при делении, является само число 8. Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять получили в остатке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к остаткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом получим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит, деление никогда не закончится. Говорят, что дробь
Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последовательно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:
Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде. Число
Эта запись читается: нуль целых, пятьдесят восемь сотых, три в периоде. Точно так же можно показать, что 5 Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например: 2,5 = 2,5000...; -3 = -3,000... . Таким образом,
Верно и обратное утверждение:
Например,
Эти равенства легко проверить, выполнив деление. Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9. Упражнения
|