>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

20. Преобразование двойных радикалов

Сторона а₅ правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле

Выражение , входящее в эту формулу, имеет вид

,

где а, b, с — некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют двойным радикалом.

В преобразованиях выражений, содержащих двойные радикалы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.

Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: Попытаемся представить выражение 41 - 12 в виде квадрата разности двух выражений. Для этого 12 будем рассматривать как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12 можно представить, например, как 2 • 6 • или как 2 • 3 • 2. Проверка убеждает нас, что именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и равна 41. Значит,

Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод неопределённых коэффициентов.

Решение: Пусть = а + b, где а и b — некоторые числа. Тогда (а + b)² = 61 + 28 и а + b ≥ 0. Значит,

Отсюда

Выпишем все пары целых чисел (а; b), для которых аb = 14:

Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям

Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара (7; 2). Значит,

В тех случаях, когда a ≥ 0, b ≥ 0 и разность а² - b равна квадрату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в выражении можно с помощью формулы двойного радикала:

В правой части этой формулы записано неотрицательное число. Покажем, что его квадрат равен а ±

Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении .

Решение: По формуле двойного радикала имеем

Освобождение от внешнего радикала используется в преобразованиях выражений с переменными, содержащих двойные радикалы.

Пример 4. Упростим выражение

Решение: Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде

Получим

Упражнения

444. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:

     

445. Найдите значение выражения:

     

446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:

     

447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а², если:

     

448. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:

     

449. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

     

450. Найдите значение выражения:

     

451. Докажите, что верно равенство:

     

452. Упростите выражение:

     

453. Освободитесь от внешнего радикала в выражении: