Учебник для 8 класса

Алгебра

21. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений

имеет вид

где х — переменная, а, b и с — числа.

В первом уравнении а = - 1, b = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, b = -7 и с = 0, в третьем а = 1, b = 0 и с = . Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число с — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х² + 7 = 0, Зх² - 10x = 0 и -4x² = 0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем b = 0 и с = 0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

ах² + с = 0, где с ≠ 0;
ах² + bх = 0, где b ≠ 0;
ах² = 0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Пример 1. Решим уравнение -Зх² + 15 = 0.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

-Зх² = -15,
х² = 5.

Отсюда

х = или х = - .

Ответ: х₁ = , х₂ = - .

Пример 2. Решим уравнение 4х² + 3 = 0.

Решение: Перенесём свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:

4х² = -3,
x² =

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х² + 3 = 0. Ответ: корней нет.

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах₂ + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение

х² = - ,

равносильное уравнению ах² + с = 0.

Так как с ≠ 0, то - ≠ 0.

Если > 0, то уравнение имеет два корня:

Если < 0, то уравнение не имеет корней. а

Пример 3. Решим уравнение 4х² + 9х = 0.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители:

х(4х + 9) = 0.

Отсюда

х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

4х = -9,
x = - 2.

Ответ: x₁ = 0, х₂ = -2.

Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах² + bх = 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

х (ах + b) = 0.

Произведение х(ах + b) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ах + b = 0.

Решая уравнение ах + b = 0, в котором а ≠ 0, находим

ах = - b,
х = - .

Следовательно, произведение х(ах + b) обращается в нуль при х = 0 и при х = - . Корнями уравнения ах² + bх = 0 являются числа 0 и - .

Значит, неполное квадратное уравнение вида ах² + bх = 0 при b ≠ 0 всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ах² = 0 равносильно уравнению х² = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Упражнения

Является ли квадратным уравнение:
Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:

Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?
Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Какое из данных неполных квадратных уравнений не имеет корней?
При каких значениях а уравнение (а - 2)х² + 15х + а² - 4 = 0 является неполным квадратным уравнением? Выберите верный ответ.
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение:
Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
Теннисный корт представляет собой прямоугольную площадку, длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м². Найдите длину и ширину корта.
Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см², то площадь оставшейся части будет равна 85 см². Найдите сторону квадрата.
Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?
Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле s = , где t (с) — время, g ≈ 10 м/с², s (м) — пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 м?
Ширина земельного участка, имеющего форму прямоугольника, составляет 75% его длины, а его площадь равна 4800 м². Найдите длину забора, ограждающего этот участок.
Телевизор имеет плоский экран прямоугольной формы. В паспорте к телевизору указано, что длина экрана относится к ширине как 4 : 3, а диагональ равна 25 дюймам. Найдите длину и ширину экрана в дюймах; в сантиметрах (1 дюйм = 2,54 см).
В каких координатных четвертях расположен график функции:
Найдите значение выражения при х = 0,36 и при х = 49.