Учебник для 8 класса

Алгебра

22. Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Начнём с примера. Решим уравнение

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Выделим из трёхчлена квадрат двучлена. Для этого разность представим в виде , прибавим к ней выражение и вычтем его.

Получим

Отсюда

Следовательно,

Уравнение имеет два корня: - и 1.

Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют выделением квадрата двучлена.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение

(1)

Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Преобразуем это уравнение, используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись в рассмотренном примере:

(2)

Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а² — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т. е. выражения b² - 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 («дискриминант» по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е.

Запишем уравнение (2) в виде .

Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1) Если D > 0, то

Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:

Принята следующая краткая запись, которую называют формулой корней квадратного уравнения:

, где D = b² - 4ас, (I)

2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:

Отсюда

В этом случае уравнение (1) имеет один корень .

Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при D = 0 формула (I) принимает вид

откуда

3) Если D < 0, то значение дроби отрицательно и поэтому уравнение

а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

При решении квадратного уравнения по формуле (I) целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Пример 1. Решим уравнение 12х² + 7x + 1 = 0.

Решение: Найдём дискриминант:

D = 7² - 4 • 12 • 1 = 1, D > 0.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

Ответ:

Пример 2. Решим уравнение х² - 12х + 36 = 0.

Решение: Имеем

Ответ: 6.

Пример 3. Решим уравнение 7х² - 2bх + 23 = 0.

Решение: Имеем

D = (-25)² - 4 • 7 • 23 = 625 - 644, D < 0.

Ответ: корней нет.

Из формулы (I) можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ах² + 2kх + с = 0.

Найдём его дискриминант: D = 4k² - 4ас = 4(k² - ас).

Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k² - ас. Обозначим это выражение через D₁.

Если D₁ < 0, то по формуле корней квадратного уравнения получим

Значит, если квадратное уравнение имеет вид

ах² + 2kx + с = 0,

то при D₁ < 0 его корни могут быть найдены по формуле

, где D₁ = k² - ас. (II)

Если D₁ < 0, то уравнение корней не имеет.

Пример 4. Решим уравнение 9х² - 14х + 5 = 0.

Решение: Имеем D₁ = (-7)² - 9 • 5 = 4,

Ответ: х₁ = , х₂ = 1.

Упражнения

Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
При каких значениях х:
а) трёхчлен х² - 11х + 31 принимает значение, равное 1;
б) значения многочленов х² - 5х - 3 и 2х - 5 равны;
в) двучлен 7х + 1 равен трёхчлену Зх² - 2х + 1;
г) трёхчлен - 2х² + 5х + 6 равен двучлену 4х² + 5х?
При каких значениях х принимают равные значения:
а) двучлены х² - 6х и 5х - 18;
б) трёхчлены Зх² - 4х + З и х² + х + 1?
Решите уравнение, используя формулу (II):
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения:
Решите уравнение:
Решите уравнение:
Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:
Решите уравнение х² = 0,5х + 3 сначала графически, а затем с помощью формулы корней.
(Для работы в парах.) Решите графически уравнение:
а) х² - 2х - 1 = 0;
б) х² - 4х + 2 = 0.
1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.
Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуйтесь калькулятором):
Решите уравнение:
При каких значениях х верно равенство:
Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):
(Задача-исследование.) Решите уравнения:

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений ах² + bх + с = 0 и сх² + bх + а = 0.
3) Докажите, что ваше предположение верно.
Существует ли такое значение а, при котором уравнение
х² - ах + а - 4 = 0:
а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?
Найдите значение выражения:
Упростите выражение:
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций: