>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

24. Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение х² - 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Теорема

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х² + рх + q = 0.

Дискриминант этого уравнения D равен р² - 4q.

Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:

Найдём сумму и произведение корней:

Итак,

Теорема доказана.

При D = 0 квадратное уравнение х² + рх + q = 0 имеет один корень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычислять по формуле

Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пусть квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 имеет корни x₁ и х₂. Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид

По теореме Виета

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема

По условию m + n = - р, а mn = q. Значит, уравнение х² + рх + q = 0 можно записать в виде

х² - (m + n) х + mn = 0.

Подставив вместо х число m, получим:

m² — (m + n)m + mn = m² - m² - mn + mn = 0.

Значит, число m является корнем уравнения.

Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Пример 1. Найдём сумму и произведение корней уравнения

Зх² - 5х + 2 = 0.

Решение: Дискриминант D = 25 - 4 • 3 • 2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение . Значит, сумма корней уравнения Зх² - 5х + 2 = 0 равна , а произведение равно .

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение х² + Зх — 40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Решение: Найдём дискриминант:

D = З² + 4 • 40 = 169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

Отсюда

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х² + Зх - 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х² + Зх - 40 = 0.

Пример 3. Найдём подбором корни уравнения

х² - х - 12 = 0.

Решение: Дискриминант D = 1 - 4 • 1 • (-12) — положительное число. Пусть x₁ и х₂ — корни уравнения. Тогда

x₁ + х₂ = 1 и х₁ • х₂ = -12.

Если х₁ и х₂ — целые числа, то они являются делителями числа -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x₁ = -3 и x₂ = 4.

Упражнения

580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

     

581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

     

582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

     

583. Найдите подбором корни уравнения:

     

584. Найдите подбором корни уравнения:

     

585. В уравнении x² + рх - 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
586. Один из корней уравнения x² - 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
587. Один из корней уравнения x² + bх + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.
588. Один из корней уравнения 10x² - ЗЗх + с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
589. Разность корней квадратного уравнения x² - 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
590. Разность корней квадратного уравнения x² + х + с = 0 равна 6. Найдите с.
591. Разность квадратов корней квадратного уравнения x² + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.
592. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² - Зx + а = 0 равна 65. Найдите а.
593. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

     

     1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
     2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

594. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

     а) Зх² + 113х - 7 = 0;
     б) 5х² - 291x - 16 = 0.

595. (Для работы в парах.) Уравнение х² + 5х + m = 0 имеет корни x₁ и х₂. Найдите, при каком значении m:

     а) сумма квадратов корней равна 35;
     б) сумма кубов корней равна 40.

     1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).
     2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

596. При каких значениях х верно равенство:

     

597. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.
598. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно , другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.
599. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Контрольные вопросы и задания

1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.
4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0?
5. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.