>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

25. Решение дробных рациональных уравнений

В уравнениях

левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным. Так, уравнение 2х + 5 = 3(8 - х) целое, а уравнения

дробные рациональные.

Пример 1. Решим целое уравнение

Решение: Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:

3(х - 1) + 4х = 5х.

Решив его, найдём, что х = 1,5.

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

(1)

Решение: По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х(х - 5). Получим целое уравнение

(2)

Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1). Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение

Его корни — числа -2 и 5.

Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1). При х = —2 общий знаменатель х(х - 5) не обращается в нуль. Значит, число -2 — корень уравнения (1). При х = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения и теряют смысл. Поэтому число 5 не является корнем уравнения (1).

Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.

Пример 3. Решим уравнение .

Решение: Имеем .

Общий знаменатель дробей х(x - 2)(х + 2).

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

2х - (х + 2) = (4 - х) (х - 2).

Отсюда

Если х = 2, то х (х - 2) (х + 2) = 0; если х = 3, то х (х - 2) (х + 2) ≠ 0. Значит, корнем исходного уравнения является число 3.

Ответ: 3.

Упражнения

600. Найдите корни уравнения:

     

601. Решите уравнение:

     

602. Найдите корни уравнения:

     

603. Решите уравнение:

     

604. При каком значении х:

     а) значение функции у = равно 5; -3; 0; 2;
     б) значение функции у = равно -10; 0; -5?

605. Найдите корни уравнения:

     

606. Найдите значение переменной у, при котором:

     а) сумма дробей равна 2;
     б) разность дробей равна 3;
     в) сумма дробей равна их произведению;
     г) разность дробей равна их произведению.

607. Решите уравнение:

     

608. Решите уравнение:

     

609. Найдите корни уравнения:

     

610. (Для работы в парах.) Решите уравнение:

     

     1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
     2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
     3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

611. Решите графически уравнение:

     

612. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение
     = ах + b, где а и b — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа а и b.
613. Найдите значение выражения х² - 2ху + у² при х = 3 + , у = 3 - .
614. Принадлежат ли графику функции у = х² + 2х + 5 точки А (1,5; 7,25), B(-3,2; 9) и С( - 1; 7)?
615. Упростите выражение:

     

616. Сравните с нулём значение выражения: