>>> Перейти на полный размер сайта >>>

Учебник для 8 класса

Алгебра

42. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства

Функции, которые можно задать формулой вида

y = хⁿ,

где х — независимая переменная и n — целое число, называют степенными функциями с целым показателем.

Со степенными функциями у = х² и y = х³ вы познакомились в курсе алгебры 7 класса. Вам знакома также степенная функция у = х, которая является частным случаем прямой пропорциональности у = kx (при k = 1).

Рассмотрим теперь функции у = х^-1 и у = х^-2, выясним свойства этих функций и особенности их графиков. Отметим сразу, что областью определения каждой из этих функций является множество действительных чисел, кроме нуля.

Перечислим свойства функции у = х^-1 и особенности её графика.

1. Если х > 0, то у > 0; если х < 0, то у < 0.

Это следует из формулы у = х^-1: значения хну одного знака.

Так как

то графиком функции является гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис. 56).

Рис. 56

2. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Действительно, если х₀ и -х₀ — значения аргумента, то соответствующие им значения функции x₀^-1 и (-х₀)^-1 также являются противоположными числами, так как

Если точка М (х₀; у₀) принадлежит графику функции, то точка М'(- х₀; - у₀) также принадлежит графику этой функции. Значит, каждой точке М (х₀; у₀) графика соответствует точка М'(-х₀; - у₀) того же графика. Точки, имеющие противоположные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно начала координат.

Следовательно, график функции у = х^-1 симметричен относительно начала координат.

3. Если значения аргумента при х > 0 неограниченно возрастают (х ⇒ +оо), то соответствующие им значения функции убывают, т. е. стремятся к нулю {у ⇒ 0).

Если значения аргумента при х > 0 убывают, т. е. стремятся к нулю (х ⇒ 0), то соответствующие значения функции неограниченно возрастают (у ⇒ +оо).

Если х < 0 и х⇒ -оо, то у ⇒ 0.

Если х < 0 и х ⇒ 0, то у ⇒ -оо.

Таким образом, точки графика, удаляясь от оси у вправо или влево, всё ближе приближаются к оси х, а удаляясь от оси х вверх или вниз, всё ближе приближаются к оси у.

Отметим ещё одно свойство функции у = х^-1.

4. Значения аргумента и соответствующие им значения функции являются взаимно обратными числами.

Действительно, при любых значениях аргумента х верно равенство ху = 1. А это означает, что значения хну являются взаимно обратными числами.

Если точка М (а; b) принадлежит графику данной функции, то точка М' (b; а) также принадлежит графику этой функции. Точки М (а; b) и М' (b; а) симметричны относительно прямой у = х. Значит, график функции у = х^-1 симметричен относительно прямой y = х.

Выясним теперь свойства функции у = х^-2 и особенности её графика.

1. При любом значении аргумента значения функции — положительные числа.

Это следует из того, что

х^{- 2} > 0

при любом х ≠ 0. Значит, график функции у = х^{- 2} расположен выше оси х.

2. Любым противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.

Действительно, если х₀ и -х₀ — значения аргумента, то x₀^-2 и (-х₀)^-2 — соответствующие им значения функции, но

x₀^-2 = (-x₀)^-2.

Отсюда следует, что каждой точке М (х₀; у₀) графика функции соответствует точка М’(-х₀; у₀) того же графика. Значит, график функции у = х^-2 симметричен относительно оси у.

3. Если х ⇒ +оо или х ⇒ -оо, то у ⇒ 0; если х ⇒ 0, то у ⇒ +оо.

Действительно, если |х| неограниченно возрастает (|х| ⇒ +оо), то |x^-2| убывает, оставаясь положительным числом, т. е. у стремится к нулю. Если |x| ⇒ 0, то х^-2 неограниченно возрастает, т. е. х^-2 ⇒ +оо.

Основываясь на этих свойствах, можно построить график функции у = х^-2.

Вычислим значения у для некоторых положительных значений аргумента.

Построим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице. Соединив эти точки плавной непрерывной линией, получим одну ветвь графика функции. Вторую ветвь, расположенную во второй координатной четверти, построим симметрично первой относительно оси у. График функции у = х^-2 изображён на рисунке 57.

Рис. 57

Упражнения

1062. Известно, что точки А и В(843; b) принадлежат гиперболе у = х_-1. Найдите а и b.
1063. Постройте в одной системе координат графики функций у = х и у = х_-1. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство х = х_-1 и неравенства х > х_-1 и х < х_-1 в случае, если:

      а) х > 0;
      б) x < 0

1064. Докажите, что прямая у = -х + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола у = х_-1:

      а) имеют две общие точки, если l > 2;
      б) имеют одну общую точку, если l = 2;
      в) не имеют общих точек, если l < 2.

1065. Постройте график функции

      

      Найдите:

      а) значение у, если х = -2; 2;
      б) значение х, при котором у = -4; 4. 1066.] Постройте график функции у = |x_-1|. Как расположен этот график относительно оси у?

1066. Постройте в одной системе координат графики функций у = х_-1, где х > 0, и у = х_-2, где х > 0. Сравните значения х_-1 и х-_-2, если:

      а) 0 < х < 1;
      б) х > 1.

1067. Известно, что точки А и B(0,0625; b) принадлежат графику функции у = х_-2. Найдите а и b.
1068. Расположите в порядке возрастания числа х₀₂, х₀, х₀₀, х_0-1, х_0-2, зная, что:

      а) 0 < х₀ < 1;
      б) x₀ > 1.

1069. Постройте график функции

      

      Сколько общих точек имеет этот график с прямой у = а в случае, когда:

      а) а = 2;
      б) а = 1;
      в) а = ;
      г) а = 0?

1070. Дана функция

      

      Сколько корней имеет уравнение:

      а) У = 2;
      б) у = ;
      в) у = 0;
      г) у = -3?