Учебник для 11 класса

ФИЗИКА

§ 4.6. Стоячие волны

• Рассматривая бегущую волну на резиновом шнуре, мы как бы считали, что этот, шнyp не имеет, второго конца. Но конец-то на самом деле есть. Пусть этот конец закреплен на жесткой стенке. Что при этом будет происходить?

Образование стоячей волны

Проще всего выяснить это, если послать вдоль шнура единичный импульс, взмахнув один раз рукой, и посмотреть, что произойдет (см. рис. 4.2). Изгиб шнура (единичный импульс) добежит до стенки, отразится и побежит назад (рис. 4.15). Причем вследствие затухания величина импульса постепенно уменьшается.

Рис. 4.15

Если левый (по рисунку) конец шнура заставить совершать гармонические колебания, то по шнуру побежит волна, и, достигнув стенки, волна будет от нее отражаться. Каждый очередной изгиб шнура отражается подобно единичному импульсу, и от стенки побежит отраженная волна навстречу волне, бегущей к стенке. В результате на любом участке шнура встречаются две волны, бегущие в противоположные стороны. Вызванные ими колебания складываются. Частоты этих колебаний одинаковы, а амплитуды почти одинаковы, если затухание колебаний вдоль шнура невелико. Но фазы колебаний различны. Ведь волна, бегущая от левого конца шнура, или, как ее еще называют, падающая волна, и волна, отраженная от стенки, проходят различные пути до данного участка шнура.

Кроме того, при отражении волны от закрепленного конца шнура происходит изменение фазы волны. Мы видели, что при отражении волнового импульса изменяется знак смещения (см. рис. 4.2 и 4.15). То же самое происходит и при отражении гармонической волны. Изменение знака смещения означает изменение фазы волны на π. Объяснить это можно так: в момент отражения волнового импульса на закрепленный участок шнура действует перпендикулярная к шнуру сила со стороны стенки. Действие этой силы не только удерживает конец шнура в покое, но и порождает отраженную волну со смещением участков шнура в противоположном направлении, как будто по шнуру ударили сверху вниз (см. рис. 4.15).

Изменение фазы волны можно объяснить и по-другому. При отражении волны от закрепленного конца амплитуда колебаний конца равна нулю. Это может быть лишь в том случае, если колебания шнypa, вызванные прямой и обратной волной на конце шнура, происходят в противофазе.

На рисунке 4.16 пунктирными линиями изображены положения двух волн, бегущих навстречу друг другу, через промежутки времени, равные четверти периода. За четверть периода каждая из волн перемещается на 1/4λ. Результирующие колебания точек шнура (сплошная линия) возникают вследствие сложения двух колебаний. Если в некоторой точке складываются колебания с одинаковыми фазами, то отклонение этой точки от положения равновесия, вызванное одной волной, прибавляется к такому же отклонению, вызванному другой волной. В результате амплитуда колебаний удваивается. Такие точки называются пучностями.

Рис. 4.16

Если же в какой-нибудь точке шнура складываются колебания с противоположными фазами, то точка эта остается в покое. Перемещения точки, вызванные падающей и отраженной волнами, направлены в противоположные стороны и вычитаются друг из друга. Такие точки называются узлами.

Самое примечательное состоит в том, что узлы и пучности не перемещаются вдоль шнура. Это происходит потому, что разность фаз двух колебаний в пучностях и узлах (равно как и во всех других точках) не меняется со временем. Она зависит только от положения точки на шнуре. В результате распределение смещений точек шнура относительно их положений равновесия в любой момент времени образует волну, которая не перемещается в пространстве. Такая волна называется стоячей волной.

Уравнение стоячей волны

Получим уравнение стоячей волны на резиновом шнуре длиной l. Уравнение бегущей волны в направлении оси X, совпадающем с растянутым шнуром, имеет вид:

Волна проходит от начала шнура (точка x₀ = 0) до конца (х_i = I) и обратно до точки на расстоянии х от начала шнура путь 2l - x. Смещения в отраженной волне вследствие изменения фазы при отражении имеют противоположный знак по сравнению со смещением s_m в бегущей волне. Если пренебречь затуханием, то уравнение отраженной волны запишется следующим образом:

Результирующее смещение произвольной точки шнура с координатой x равно:

Воспользовавшись теоремой о разности синусов, получим уравнение стоячей волны:

Модуль максимального смещения различных колеблющихся участков шнура, т. е. амплитуда их колебаний, равен:

На конце шнура при х = l амплитуда равна нулю. Это один из узлов стоячей волны. Следующие узловые точки лежат на расстояниях Δx друг от друга, определяемых условием .

Отсюда

Между узлами располагаются пучности с максимальной амплитудой колебаний.

Расстояние между соседними узлами (или пучностями) равно половине длины волны (см. рис. 4.16).

Фаза колебаний всех точек между двумя соседними узлами в стоячей волне одинакова. Это означает, что смещение точек между соседними узлами происходит в данный момент времени в одну и ту же сторону. Но при переходе через узел фаза колебаний меняется на л, т. е. смещения меняют знак. На рисунке 4.17 вы видите профиль стоячей волны в близкие моменты времени t и t + Δt.

Рис. 4.17

Таким образом, если в бегущей волне точки шнура колеблются с одинаковой амплитудой, но с различными фазами, то в стоячей волне фаза колебаний точек между узлами одна и та же, но амплитуда меняется от точки к точке.

Наблюдение стоячей волны

В справедливости сделанных выводов можно убедиться на опыте. При небольпюй сноровке нетрудно получить стоячую волну на резиновом шнуре или просто на веревке. (Конечно, стоячая волна не возникает сразу, как только вы начнете раскачивать веревку. В первый момент отраженной волны вообще не будет. Нужно немного подождать, когда процесс установится.) Можно заметить, что, действительно, узлы и пучности остаются на местах, и фаза колебаний всех точек, расположенных между соседними узлами, одна и та же, и участки шнура между узлами одновременно движутся вверх либо вниз.

Энергия в стоячей волне

В стоячей волне, в отличие от бегущей, в среднем по времени не происходит переноса энергии. Это понятно, так как бегущие навстречу друг другу волны несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Энергия волны между двумя узлами остается неизменной. Совершается только превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Когда участки шнура проходят через положение равновесия, кинетическая энергия имеет максимальное значение. Через четверть периода кинетическая энергия убывает до нуля и максимальной становится потенциальная энергия. Отклонения частиц шнура в этот момент от их положений равновесия максимальны (шнур при этом более всего деформирован в узлах и менее всего в пучностях).