Учебник для 11 класса

ФИЗИКА

§ 4.20. Примеры решения задач

При решении задач на механические волны нужно использовать формулы главы «Механические колебания» и формулы данной главы «Механические волны. Звук». Часто применяется выражение для скорости волны через частоту колебаний и длину волны: υ = vλ. Надо знать уравнение бегущей волны (4.5.4 и 4.5.7) и стоячей волны (4.6.3).

При определении собственных частот колебаний тела по формуле (4.7.2) следует иметь в виду, что она справедлива в тех случаях, когда оба конца колеблющегося тела либо закреплены, либо свободны.

Необходимо помнить условия возникновения интерференционных максимумов и минимумов, а также законы отражения и преломления волн.

При решении некоторых задач нужно будет использовать законы механики Ньютона.

Задача 1

Исходя из сопоставления единиц физических величин, определите скорость распространения волн на поверхности жидкости с учетом только силы тяжести (длинные гравитационные волны). Предполагается, что глубина жидкости в сосуде Н >> λ и амплитуда колебаний частиц в волне s_m << λ, (λ — длина волны).

Решение. Скорость распространения волн, о которых идет речь в данной задаче, определяется силой тяжести. Сила тяжести характеризуется ускорением свободного падения g, которое выражается в метрах на секунду в квадрате.

Чтобы получить выражение для скорости, единица которой метр в секунду, нам надо ввести характерную величину, имеющую размерность длины, т. е. выражающуюся в метрах. Такой величиной является только длина волны, поскольку глубина сосуда очень велика, а амплитуда колебаний частиц в волне очень мала.

Из величин g и λ можно сконструировать величину, выражающуюся в метрах на секунду, единственным образом, а именно: , где k — безразмерный коэффициент. Теоретические расчеты показывают, что .

Задача 2

Определите скорость распространения продольной упругой волны малой амплитуды в стальном стержне.

Решение. Для того чтобы возбудить в стержне продольную волну, надо произвести удар по его торцу (рис. 4,46). В результате стержень деформируется на величину Δl = uΔt, где u — скорость, приобретенная частицами стержня при ударе, Δt — время удара (время действия силы ).

Рис. 4.46

За время Δt фронт возбужденной при деформации стержня продольной волны переместится на расстояние l = υΔt, где υ — скорость распространения продольных волн. Следовательно, за время Δt в колебательное движение приходит часть стержня массой Δm = ρV = ρSl = ρSυΔt, где S — площадь поперечного сечения стержня.

По второму закону Ньютона

или

где ρ — плотность стали.

Согласно закону Гуна имеем:

где Е — модуль Юнга.

Отсюда

Сравнивая выражения (4.20.1) и (4.20.2), получим:

Отсюда

Взяв из таблиц значения для модуля Юнга Е = 2,1 • 10¹¹ Па и ρ = 7,8 • 10³ кг/м³, определим υ = 5,2 • 10³ м/с.

Задача 3

Определите скорость распространения v поперечной волны в струне, площадь поперечного сечения которой S, если модуль силы ее натяжения можно считать постоянным*, а плотность вещества, из которого изготовлена струна, равна ρ.

Решение. Рассмотрим малый элемент струны длиной Д^, находящийся на гребне волны (рис. 4.47). Равнодействующая сил натяжения, действующих на этот элемент, направлена вниз (см. рис. 4.47) и равна по модулю:

Рис. 4.47

Выберем систему отсчета, движущуюся со скоростью распространения волны вдоль струны. В этой системе отсчета любой элемент струны движется со скоростью -. Считая, что малый элемент струны имеет форму дуги окружности радиусом R, получим, что ускорение этого элемента равно:

По второму закону Нютона

или

Так как m = ρSΔl = ρSRα, то

Отсюда

Задача 4

Найдите зависимость частоты колебаний основного тона струны от ее длины l, плотности ρ, площади поперечного сечения S и силы натяжения F.

Решение. При возбуждении колебаний струны на ней устанавливается стоячая волна (рис. 4.48). Длина волны λ основного тона равна:

λ = 2l

Рис. 4.48

Так как (см. задачу 3), то

Отсюда

Задача 5

Движущийся по реке теплоход дает свисток, частота которого V₀ = 400 Гц. Стоящий на берегу наблюдатель воспринимает звук свистка как колебания с частотой v = 395 Гц. С какой скоростью u движется теплоход? Приближается или удаляется он от наблюдателя? Скорость звука υ принять равной 340 м/с.

Решение. Частота звука зависит от скорости движения источника. При неподвижном источнике (точка А на рисунке 4.49) за время, равное периоду колебаний Т, колебание распространится на расстояние, равное длине волны λ₀ = υT.

Рис. 4.49

Если же источник движется (точка А' на рисунке 4.49) со скоростью u, то за время Т он пройдет в направлении распространения волны путь uТ, и колебание распространится за это время на расстояние λ = λ₀ - uТ = (υ - u)Т. При удаляющемся источнике λ = (υ + u)Т. Таким образом, частота колебаний, воспринимаемых ухом неподвижного человека, от движущегося источника звука получается равной

Это выражение можно упростить, если u << υ. Для этого умножим числитель и знаменатель на (υ ± u) и пренебрежем членом по сравнению с . Тогда

Знаку «+» соответствует приближение источника, а знаку «-» — удаление. Это явление носит название эффекта Доплера.

Согласно условию задачи v < V₀, следовательно, теплоход удаляется от берега. Искомая скорость

Задача 6

К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который постепенно наливают воду, поднесен звучащий камертон. .Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояния от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигают значений h₁ = 25 см и h₂ = 75 см. Определите частоту колебаний V камертона. Скорость звука v принять равной 340 м/с.

Решение. Звучание камертона усиливается в том случае, когда частота свободных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой колебаний камертона. Свободные колебания воздушного столба в закрытой с одного конца трубе соответствуют установлению в ней стоячей волны такой длины λ, что у закрытого конца образуется узел, а у открытого — пучность. Итак, вдоль столба воздуха длиной h укладывается ... длин волн, т. е. в общем случае

где k = 0, 1, 2, ... — целые числа.

Так как частота колебаний связана с длиной волны формулой , то для соответствующей некоторому значению k частоты камертона получаем:

По условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому различным резонансным высотам h₁ и h₂ воздушного столба должны соответствовать два значения k, отличающиеся на единицу: k₁ = n и k₂ = n + 1. Это значит, что

Отсюда находим n:

Следовательно, k₁ = 0 и k₂ = 1.

Поэтому

Упражнение 4

1. Определите частоту v звуковых колебаний в стали, если расстояние l между ближайшими точками бегущей звуковой волны, колеблющимися с разностью фаз 90°, равно 1,54 м. Скорость звуковых волн в стали υ = 5000 м/с.

2. Плоская поперечная волна задана уравнением

где s — смещение частицы в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, х — расстояние вдоль луча от источника колебаний. Определите частоту колебаний v, скорость распространения волны υ, длину волны λ и амплитуду колебаний скорости каждой частицы u_m. Все величины в данном уравнении выражены в единицах СИ.

3. Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от источника колебаний на l₁ = 12 м и l₂ = 14,7 м, колеблются с разностью фаз рад. Определите скорость волны в данной среде, если период колебаний источника Т = 10^-3 с.

4. Вибратор в среде совершает гармонические колебания, описываемые уравнением s = 3 • 10^-2 sin 20πt (в единицах СИ). Считая волну плоской, определите смещение точки, располозкенной на расстоянии 5 м от источника колебаний, через 0,1 с после начала колебаний при скорости распространения волны 200 м/с.

5. Определите собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе длиной l = 3,4 м. Скорость звука υ принять равной 340 м/с.

6. Труба, длина которой l = 1м, заполнена воздухом при нормальном атмосферном давлении. Рассмотрите три случая: труба открыта с одного конца; труба открыта с обоих концов; труба закрыта с обоих концов. При каких наименьших частотах в трубе будут возникать стоячие волны в указанных случаях? Скорость звука принять равной 340 м/с.

7. Тонкую струну заменили струной из того же материала, но имеющей вдвое больший диаметр. Во сколько раз нужно изменить силу натязкения струны, чтобы частота колебаний струны не изменилась?

8. На расстоянии l = 1068 м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на τ = 3 с раньше, чем он дошел до него по воздуху. Чему равна скорость υ₁ звука в стали? Скорость звука в воздухе υ принять равной 333 м/с.

9. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частотой v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью υ₁ = 330 м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывалось целое число длин волн. Этот опыт повторили, когда температура была на ΔT = 20 К выше, чем в первом случае. Число длин волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось во втором случае на две длины волны. Найдите расстояние l между пунктами А и В, если известно, что при повышении температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с.

10. На рисунке 4.50 изображено поперечное сечение большого сосуда с жидкостью. Слева из среды с глубиной h₁ под углом φ₁ к границе раздела глубин движется плоская волна, длина которой λ >> h₁.

Рис. 4.50

Под каким углом к границе раздела глубин будет распространяться эта волна в среде, где глубина жидкости h₂? Считать скорость волн равной , где k — постоянный коэффициент.

11. Звуковые волны частотой v имеют в первой среде длину λ₁, а во второй среде λ₂. Как изменится скорость распространения этих волн при переходе из первой среды во вторую, если λ₁ = 2λ₂?

12. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду? Скорость звука в воде υ₁ = 1480 м/с, в воздухе υ₂ = 340 м/с.

13. При каком расстоянии между источниками (см. рис. 4.37) ни в одной точке не будет полного гашения волн?

14. Один из двух неподвижных кораблей излучает в воду ультразвуковой сигнал, который принимается в воде приемником второго корабля дважды: через время t₁ и f₂ (t₂ > t₁) от момента излучения сигнала первым кораблем. Считая дно горизонтальным и скорость звука в воде равной и, определите глубину моря Н.

15. Скорость звука в стержне из дюралюминия υ = 5,1 • 10³ м/с. Плотность дюралюминия ρ = 2,7 • 10³ кг/м³. Определите модуль Юнга.

* Натяжение можно считать постоянным при малой амплитуде волны.