Учебное особие по физике

Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения. Уравнение волны

Как уже отмечалось, возмущение, создаваемое колеблющимся в упругой среде телом, передается от одной точки среды к другой. Это происходит не мгновенно, а с определенной скоростью. Скоростью распространения волны называется физическая величина, определяемая расстоянием, которое проходит любая точка фронта волны за единицу времени. Вектор скорости направлен по нормали к волновой поверхности в сторону распространения волны и в однородной изотропной среде совпадает с направлением луча. Следует отличать скорость распространения волны от скорости колебания частиц среды около своих положений равновесия.

Пусть волна распространяется вдоль горизонтальной оси (например, вдоль упругого горизонтального шнура). В данный момент времени форма волны повторяется в пространстве вдоль шнура через определенные отрезки. На рисунке 1 показан профиль волны в определенный момент времени. С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью ? слева направо (штриховая линия).

Рис. 1

Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах (рис. 1), называется длиной волны. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется фронт волны за время, равное периоду T колебаний источника волн

Так как , то скорость волны связана с частотой колебаний уравнением . Отсюда , где — циклическая частота колебаний, и зависят только от свойств источника волны.

При возникновении волн в среде их частота определяется частотой колебаний источника, а скорость распространения волны зависит от свойств среды. Поэтому волны одной и той же частоты имеют различную длину в разных средах.

Выведем уравнение плоской волны.

Пусть источник совершает гармонические колебания по закону

где х — смещение, А — амплитуда, — циклическая частота, t — время.

В точках, отстоящих на расстоянии r от источника, колебания частиц среды волнового фронта будут также гармоническими, с той же частотой, но будут отставать во времени от колебаний источника на .

Тогда смещение точки среды с координатой r в момент времени t

Это и есть уравнение плоской бегущей монохроматической волны (при этом предполагают, что затуханием волны в процессе ее распространения можно пренебречь). Смещение любой точки среды из равновесного положения при прохождении волны является функцией двух переменных: времени t и расстояния r до равновесного положения точки среды.

Из уравнения волны следует:

1. Амплитуда плоской незатухающей волны в данной точке среды постоянна и равна амплитуде колебаний источника.
2. Любая точка среды совершает гармонические колебания, начальная фаза которых зависит от удаления r данной точки от источника колебаний:

   

3. Положения колеблющихся точек среды в некоторый фиксированный момент времени описываются уравнением

   

   имеет разное значение в разные моменты времени.

На рисунке 2, б приведен график этой функции при t = 0, представляющий собой "моментальный снимок" волны, т.е. положение всех частиц среды, в которой распространяется волна, в момент времени t = 0 — график волны. В отличие от графика колебаний (рис. 2, а), который показывает зависимость смещения одной частицы от времени в данной точке среды, график волны (рис. 2, б) показывает зависимость смещения всех частиц среды из положения равновесия от расстояния г до источника колебаний в некоторый фиксированный момент времени.

Рис. 2

Найдем разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии друг от друга (рис. 2, б). Колебания этих точек описываются уравнениями:

Разность фаз будет равна

Если две точки находятся на расстоянии то разность фаз колебаний этих точек , что соответствует данному выше определению длины волны.