Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 1.25. Конденсаторы

• Можно создать систему проводников, электрическая емкость которой не зависит от окружающих тел. К тому же одновременно емкость ее может быть очень большой. По этим причинам такая система, называемая конденсатором, имеет болъилое практическое значение.

Конденсатор* представляет собой два проводника, разделенные слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Проводники в этом случае называют обкладками конденсатора.

Простейший плоский конденсатор состоит из двух одинаковых параллельных пластин, находящихся на малом расстоянии друг от друга (рис. 1.97). Если заряды пластин одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то почти все электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора. Линии напряженности начинаются на положительно заряженной обкладке конденсатора и оканчиваются на отрицательно заряженной.

Рис. 1.97

У сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер (рис. 1.98), все поле сосредоточено между обкладками.

Рис. 1.98

Для зарядки конденсатора нужно присоединить его обкладки к полюсам источника напряжения, например к полюсам батареи аккумуляторов. Можно также соединить одну обкладку с полюсом батареи, другой полюс которой заземлен, а вторую заземлить. Тогда на заземленной обкладке останется заряд, противоположный по знаку и равный по модулю заряду другой обкладки. Такой же по модулю заряд уйдет в землю.

Под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из обкладок.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора пропорциональна напряженности поля внутри его. Напряженность поля, созданного пластинами, в свою очередь пропорциональна заряду лластин. Поэтому отношение заряда q одного из проводников (на другом находится такой же по модулю заряд) к разности потенциалов между этим проводником и соседним не зависит от заряда. Оно определяется лишь геометрическими размерами проводников, их формой и взаимным расположением, а также электрическими свойствами окружающей среды (диэлектрической проницаемостью ε). Это позволяет ввести понятие электрической емкости двух проводников и, следовательно, емкости конденсатора.

Электроемкостью конденсатора называют отношение заряда одного из проводников к разности потенциалов между этим проводником и соседним:

Выражается электрическая емкость конденсатора в тех же единицах, что и емкость уединенных проводников.

Чем меньше напряжение U при сообщении обкладкам конденсатора зарядов +|q| и -|q|, тем больше емкость конденсатора. На обкладках можно накопить большие заряды, не вызывая пробоя диэлектрика.

Электрические поля окружающих тел почти не проникают внутрь конденсатора сквозь его металлические обкладки и не влияют на разность потенциалов между ними. Поэтому емкость конденсатора практически не зависит от наличия вблизи него каких-либо тел.

Первый конденсатор, названный лейденской банкой, был создан в середине XVH в. Было обнаружено, что гвоздь, вставленный в стеклянную банку с ртутью, накапливает большой электрический заряд. Ртуть служила одной обкладкой конденсатора, а ладони экспериментатора, державшего банку, другой. Впоследствии обе обкладки стали делать из тонкой латуни или станиоля.

Электрическая емкость плоского конденсатора

Получим формулу для вычисления емкости плоского конденсатора. Обозначим площадь каждой его пластины S, а расстояние между пластинами d. Выразим разность потенциалов и через заряд q. Эта разность потенциалов определяется напряженностью поля Е, которая зависит от зарядов обкладок конденсатора.

Напряженность поля E₁, созданного одной из пластин, вычисляется по формуле (1.12.4). Напряженности поля положительно и отрицательно заряженных пластин равны по модулю и направлены внутри конденсатора в одну и ту же сторону. Поэтому модуль результирующей напряженности равен:

Формула для емкости конденсатора запишется в СИ более компактно, если вместо коэффициента k использовать его выражение в виде (1.3.5): . Тогда, учитывая, что поверхпостная плотность заряда , получим:

Следовательно,

Подставляя это выралсение в формулу (1.25.1) и сокращая на q, получим емкость плоского конденсатора в СИ:

В абсолютной системе единиц коэффициент в формуле (1.25.2) k = 1. С учетом этого емкость плоского конденсатора в абсолютной системе единиц равна:

Мы видим, что электроемкость конденсатора зависит от геометрических факторов: площади пластин и расстояния между ними, а также от электрических свойств среды. Она не зависит от материала проводников: обкладки конденсатора могут быть железными, медными, алюминиевыми и т. д.

Убедимся на опыте в справедливости формулы (1.25.3), полученной теоретически. Для этого возьмем конденсатор, расстояние между пластинами которого можно изменять, и электрометр с заземленным корпусом (рис. 1.99). Соединим корпус и стержень электрометра с пластинами конденсатора проводниками и зарядим конденсатор. Для этого нужно коснуться наэлектризованной палочкой пластины конденсатора, соединенной со стержнем. Электрометр покажет разность потенциалов между пластинами.

Рис. 1.99

Раздвинув пластины, мы обнаружим увеличение разности потенциалов. Согласно определению электроемкости [см. формулу (1.25.1)] это указывает на ее уменьшение. В соответствии с зависимостью (1.25.3) емкость действительно должна уменьшаться с увеличением расстояния между пластинами.

Вставив между обкладками конденсатора пластину из диэлектрика, например из органического стекла, мы обнаружим уменьшение разности потенциалов. Следовательно, емкость конденсатора увеличивается.

Расстояние между пластинами d может быть очень малым, а площадь S и диэлектрическая проницаемость достаточно большими. Поэтому при небольших размерах конденсатор может иметь большую электрическую емкость. Впрочем, плоский конденсатор емкостью в 1 Ф должен был бы иметь площадь пластин S = 100 км² при расстоянии между пластинами d = 1 мм.

Измерение диэлектрической проницаемости

Зависимость емкости конденсатора от электрических свойств вещества между его обкладками используется для измерения диэлектрической проницаемости вещества. Для этого нужно экспериментально определить отношение емкостей конденсатора с диэлектрической пластиной между обкладками (С) и без нее (С₀). Как следует из выражения (1.25.3), диэлектрическая проницаемость

Емкость сферического конденсатора

В заключение вычислим емкость еще одного типа конденсаторов — сферического конденсатора.

Обкладками конденсатора являются две сферы: внутренняя радиусом R₁ и внешняя радиусом R₂ (см. рис. 1.98). Потенциал внешней обкладки равен сумме потенциалов, создаваемых зарядом +q на внешней обкладке и -q на внутренней (принцип суперпозиции). Потенциал заряженной сферы равен потенциалу точечного заряда, помещенного в центре сферы. Поэтому

при условии, что потенциал на бесконечности принят равным нулю. Наглядно это объясняется так. Конденсатор не создает поля во внешнем пространстве. Поэтому потенциал во всех точках вне наружной сферы один и тот же. На бесконечности он равен нулю. Значит, он равен нулю и во всех точках, включая поверхность внешней сферы. Потенциал внутренней сферы

Здесь учтено, что заряд на внешней сфере создает внутри нее постоянный потенциал .

Разность потенциалов

Емкость конденсатора

В СИ

а в системе Гаусса

Если зазор между обкладками d = R₂ - R₁ мал по сравнению с R₁ и R₂, то R₁R₁ = R₁² = R₂² = R². Учитывая, что площадь поверхности сферы S = 4πR², вместо формулы (1.25.7) приближенно будем иметь:

А это есть формула для емкости плоского конденсатора. Такой результат и следовало ожидать. Если же R₂ ⇒ , то в СИ

Это емкость уединенного шара.

Вопросы для самопроверки

1. Чему равна емкость стеклянного шарика радиусом 1 см?
2. Какую форму должен иметь сосуд, чтобы между его емкостью и электрической емкостью существовала бы количественная аналогия?

* От лат. condense — сгущаю, уплотняю. В данном случае — сгуститель электрического заряда.