Учебник для 10-11 классов

ФИЗИКА

§ 1.6. Примеры решения задач

При решении задач на применение закона Кулона используются законы статики, изученные в механике (вспомните их). Методы решения задач остаются теми же, что и в механике, но добавляется еще одна сила — кулоновская. При этом надо иметь в виду, что направление кулоновской силы зависит от знаков зарядов взаимодействующих тел.

Кроме того, в ряде задач используется закон сохранения заряда и тот факт, что минимальная порция электрического заряда равна по модулю элементарному заряду е = 1,6 • 10^-19 Кл.

Задача 1

Сколько электронов содержится в капле воды массой m = 5 • 10^-5 кг?

Решение. Число молекул, содержащихся в капле воды, равно:

где М — молярная масса воды, равная 1,8 • 10^-2 кг/моль, а N_A — постоянная Авогадро, равная 6,02 • 10²³ моль^-1. Одна молекула воды содержит n = 10 электронов. Следовательно, число электронов в капле воды равно:

Задача 2

В воздухе на нити висит шарик объемом V = 2 • 10^-6 м³ и плотностью ρ = 9 • 10³ кг/м³. Заряд шарика q = 2 • 10^-7 Кл. На какое расстояние снизу надо поднести к нему маленький шарик с таким же по модулю, но противоположным по знаку зарядом, чтобы сила натяжения нити возросла вдвое? Рассмотрите два случая: а) шарики взаимодействуют в воздухе; б) вся система погружена в керосин (плотность керосина ρ_к = 800 кг/м², диэлектрическая проницаемость ε = 2,1).

Решение, а) В воздухе на первый шарик до поднесения второго действует сила натяжения нити ₁ и сила тяжести m (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Так как шарик находится в равновесии, то Т₁ = mg. После того как к первому шарику поднесли снизу второй заряженный шарик (рис. 1.10), на первый шарик стали действовать три силы: сила натяжения нити ₂, сила тяжести m и кулоновская сила ₁.

Рис. 1.10

Так как и теперь шарик находится в равновесии, то

В проекциях на вертикально направленную ось Y это равенство запишется так:

Согласно условию Т₂ = 2Т₁ = 2mg. Следовательно,

2mg - mg - F₁ = 0.

Отсюда

F₁ = mg.

По закону Кулона F₁ = k, поэтому k = mg, или k = ρVg.

Отсюда

6) Когда вся система погружена в керосин, на первый шарик действуют четыре силы: сила натяжения нити ₂, сила тяжести m, кулоновская сила ₂ и архимедова сила _a (рис. 1.11).

Из условия равновесия имеем:

или в проекциях на ось Y:

Здесь

Подставляя эти выражения в равенство (1.6.1), получим:

Задача 3

Два одинаковых шарика, несущих равные заряды, подвешены на нитях равной длины к одной точке. Шарики опускают в керосин. Чему равна плотность р материала шариков, если угол расхождения нитей в воздухе и в керосине одинаков? Плотность керосина ρ_к = 0,8 г/см³, его диэлектрическая проницаемость е = 2.

Решение. Когда система находится в воздухе, то на каждый шарик действуют три силы (рис. 1.12, а): сила тяжести m, сила натяжения нити ₁ и кулоновская сила ₁ (на рисунке изображены силы, действующие на один из шариков).

Рис. 1.12

Так как шарики находятся в равновесии, то сумма сил равна нулю:

Это означает, что при сложении сил векторы образуют прямоугольный треугольник (рис. 1.12, б. Из этого треугольника имеем:

При погружении в керосин появляется еще архимедова сила F_а, а сила натяжения нити ₂ и кулоновская сила ₂ уменьшаются по модулю (рис. 1.13, а). Шарики находятся в равновесии, значит,

Рис. 1.13

Отсюда следует, что при сложении сил они образуют замкнутую фигуру (рис. 1.13, б). Из рисунка видно, что

Отношение модулей сил ₁ и ₂ есть диэлектрическая проницаемость среды:

Подставляя в это выражение значения массы m = ρV и архимедовой силы F_a = ρ_кVg получим:

Отсюда

Можно решить эту задачу, проецируя векторные равенства на оси координат. Решение получается более громоздким.

Задача 4

В вершинах квадрата расположены одинаковые заряды q. Какой заряд q₀ надо поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Решение. Искомый заряд q₀ должен притягивать заряды q, расположенные в вершинах квадрата, компенсируя их взаимное отталкивание. Поэтому знаки зарядов q₀ и q противоположны.

При любом значении заряда q₀ он будет находиться в равновесии, так как расположен в центре симметрии квадрата, и силы, действующие на него со стороны зарядов, расположенных в вершинах квадрата, компенсируются.

Заряды, расположенные в вершинах квадрата, будут находиться в равновесии, когда суммы действующих на них сил равны нулю. Рассмотрим, например, условие равновесия заряда, расположенного в точке D (рис. 1.14).

Рис. 1.14

На этот заряд действуют силы отталкивания ₁, ₂ и ₃ со стороны зарядов, расположенных в вершинах В, С и К, и сила ₄ притяжения к заряду q₀. Следовательно,

В проекциях на ось X это равенство примет вид:

где α = 45°, а cos α = .

Для нахождения модулей сил необходимо знать расстояния между зарядами. Обозначим длину стороны BD квадрата через а, тогда

Найдем модули сил, используя закон Кулона и считая, что система зарядов находится в вакууме (ε = 1):

Подставляя эти силы в уравнение (1.6.2), получим:

Отсюда находим:

Учитывая, что заряды q и q₀ должны иметь противоположные знаки, получим:

Задача 5

Тонкое проволочное кольцо радиусом R несет электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q заряд Q, причем Q >> q. Определите силу, растягивающую кольцо.

Решение. 1-й способ. Так как Q >> q, то взаимодействием между отдельными элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент кольца длиной Δl = RΔα (рис. 1.15, а).

Рис. 1.15

Со стороны заряда Q на него действует сила , где

Силы натяжения уравновешивают силу (рис. 1.15, б). Из условия равновесия, учитывая, что Δα мало, имеем:

Отсюда

Подставляя в (1.8.3) значения , получим:

2-й способ. На каждый элемент кольца длиной Δl₁ (рис. 1.16) действует элементарная сила

Рис. 1.16

Так как

Геометрическая сумма элементарных сил, действующих на полукольцо, уравновешивается возникающими силами натяжения кольца (см. рис. 1.16):

Или в проекциях на ось Y:

Отсюда

Из рисунка видно, что

Следовательно,

Так как то

Упражнение 1

1. Два заряженных шарика малых размеров с одинаковыми отрицательными зарядами расположены в вакууме на расстоянии r = 3 см друг от друга и отталкиваются с силой F = 2 • 10^-5 Н. Найдите число избыточных электронов N на одном шарике.

2. С какой силой взаимодействовали бы две капли воды на расстоянии 10 км, если бы удалось передать одной из капель 2% всех электронов, содержащихся в другой капле массой 5 • 10^-5 кг?

3. Два одинаковых маленьких шарика, имеюпдие заряды +20 СГСЭ_q и -14 СГСЭ_q, приведены в соприкосновение и раздвинуты на 2 см. Найдите силу взаимодействия шариков.

4. Одинаковые металлические одноименно заряженные шарики находятся на расстоянии r. Отношение зарядов шариков равно n. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

5. Электрон движется вокруг протона по круговой орбите. Определите период Т обращения электрона, считая радиус орбиты равным r = 5 • 10^-11 м. Масса электрона m_e = 9,1 • 10^-31 кг.

6. Вокруг точечного заряда Q = 5 СГСЭ_q равномерно движется по окружности под действием кулоновской силы маленький отрицательно заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к его массе, если радиус окружности r = 2 см, а угловая скорость вращения ω = 5 рад/с?

7. Два одинаковых шарика массой m = 0,5 г подвешены в вакууме на нитях длиной L = 0,3 м к одной точке. После получения шариками одинаковых зарядов они разошлись на расстояние r = 0,1 м. Найдите заряд q каждого шарика.

8. На шелковой нити подвешен маленький шарик массой 0,1 г. Шарику сообщ;ен заряд 50 СГСЭ_q. Как близко надо поднести к нему снизу одноименный равный ему заряд, чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое? Заряды находятся в вакууме.

9. Два невесомых одинаково заряженных шарика подвешены в воздухе на тонких непроводящих стержнях длиной l = 100 см. Один из стержней закреплен в вертикальном положении, а другой, массой m = 5 • 10^-3 кг, — свободен. Определите, при каком значении зарядов этот стержень отклонится на угол α = 6° (g = 10 м/с²).

10. Три одинаковых отрицательных заряда q = -9 • 10^-9 Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q надо поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?

11. Три одинаковых заряда q = 20 СГСЭ_q помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд, по модулю равна F = 0,01 Н. Определите длину а стороны треугольника.

12. На расстоянии r = 3 м друг от друга расположены два точечных заряда q₁ = -9 СГСЭ_q и q₂ = -36 СГСЭ_q. После того как в некоторой точке поместили заряд Q, все три заряда оказались в равновесии. Найдите заряд Q и расстояние х между зарядами q₁ и Q.

13. Четыре одинаковых положительных точечных заряда q = 10 СГСЭ_q закреплены в вершинах квадрата со стороной α = 10 см. Найдите силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

14. Три небольших заряженных одноименным электрическим зарядом шарика находятся в равновесии на двух одинаковым образом наклоненных к горизонту гладких непроводящих плоскостях, располагаясь в вершинах равностороннего треугольника (рис. 1.17). Заряд шариков 1 и 2 один и тот же и вдвое превосходит заряд шарика 3. Найдите отношение масс второго и третьего шариков.

Рис. 1.17

15. Три одинаковых маленьких шарика массой m = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на шелковых нитях длиной l = 20 см. Какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составляла с вертикалью угол α = 30°?