Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 7.6. Другая форма уравнения движения материальной точки по окружности

Прежде чем перейти к изучению вращательного движения твердого тела, рассмотрим новую форму записи уравнения движения материальной точки по окружности. Введем новые понятия: момент инерции, момент силы и момент импульса. Именно с помощью этих понятий можно записать уравнение движения твердого тела при его вращении вокруг оси.

При рассмотрении кинематики движения точки по окружности (см. § 27 гл. 1) было установлено, что ускорение точки целесообразно разложить на нормальную _n и тангенциальную _τ составляющие, модули которых соответственно равны:

Нормальная составляющая характеризует изменение скорости только по направлению, а тангенциальная — только по модулю. Соответственно второй закон Ньютона для проекций _n и _τ ускорения запишется так:

где F_n — проекция силы на направление, перпендикулярное скорости, a F_τ — проекция силы на направление скорости.

Второе из этих уравнений перепишем, используя связь тангенциального α_τ и углового β ускорений (α_τ = βR):

Момент силы

Пусть к материальной точке приложена сила, действующая в плоскости движения.

Угловое ускорение, как это следует из уравнения (7.6.1), определяется тангенциальной составляющей силы . Например, силы ₁, ₂, ₃ (рис. 7.30) создают одно и то же ускорение β, так как для них составляющие _τ одинаковы.

Рис. 7.30

Обозначим через α угол между вектором силы и радиусом-вектором рассматриваемой материальной точки. Тогда

Назовем расстояние d между центром окружности О и линией действия силы плечом силы. Из рисунка 7.31 видно, что

Рис. 7.31

В частности, для силы F₁ (см. рис. 7.30) угол α = 90° и, следовательно, d₁ = R, т. е. плечо силы равно радиусу окружности.

Произведение модуля F_τ тангенциальной составляющей на радиус R назовем моментом силы и обозначим буквой М.

Из формул (7.6.2) и (7.6.3) следует, что

Запишем уравнение (7.6.1) в другой форме, используя понятие момента силы. Для этого умножим левую и правую части этого уравнения на R. На основании равенства (7.6.4) получим:

Таким образом, при постоянных значениях m и R момент силы определяет угловое ускорение.

Однако с таким же успехом при заданном R угловое ускорение может определяться величинами F_τR², F_τR³ и т. д. Поэтому возникает вопрос о том, почему мы выбираем в качестве характеристики силового воздействия именно момент силы М = F_τR, а не какую-либо другую комбинацию величин F_τ, R. Причина такого выбора состоит в следующем.

Сравним движение материальной точки по окружности с прямолинейным движением. Между кинематическими характеристиками в этих случаях имеется следующее соответствие: линейному перемещению Δs соответствует угловое перемещение Δφ, линейной скорости v — угловая скорость ω, линейному ускорению а — угловое ускорение β.

Каково же будет соответствие между динамическими характеристиками? Начнем с силы. Рассмотрим выражение для работы. При движении по окружности работа совершается тангенциальной составляющей ₁ силы. Нормальная составляющая не совершает работы.

Таким образом, при перемещении по окружности на малое расстояние Δs (рис. 7.32) совершается элементарная работа

Рис. 7.32

Введем вместо линейной характеристики перемещения Δs угловое Δφ. Они связаны равенством Δs = RΔφ.

Используя это соотношение, перепишем выражение (7.6.6) в виде:

Отсюда следует, что если вместо линейного перемещения использовать угловое, то роль силы будет играть величина F_τR, т.е. момент силы М.

Знак момента силы

В определении момента силы (7.6.4) не учтено, что сила имеет направление и может как увеличивать угловую скорость, так и уменьшать ее. Это обстоятельство можно учесть так. Будем считать одно из направлений обращения точки, например против движения часовой стрелки, положительным. Тогда моменту силы условимся приписывать знак плюс, если сила увеличивает скорость обращения точки в направлении против часовой стрелки, и знак «минус» в противоположном случае.

Момент инерции

Мы установили, что при описании движения по окружности вместо величин г, v, a, F удобнее использовать величины φ, ω, β, М. Какая же величина соответствует массе? Из уравнения (7.6.5) видно, что роль массы при движении по окружности играет величина mR². Назовем ее моментом инерции и обозначим буквой J:

Используя это обозначение, запишем уравнение движения материальной точки по окружности в форме:

Итак, мерой инертности при движении материальной точки по окружности служит момент инерции. То, что инертность при движении по окружности зависит от радиуса, легко почувствовать. Например, камень на длинной веревке раскрутить труднее, чем на короткой.

Подчеркнем еще раз, что исходное уравнение движения mа₁ = F₁ и уравнение (7.6.9) эквивалентны. Использование того или иного из них при описании движения материальной точки определяется соображениями удобства и простоты.

Момент импульса

В главе 2, посвященной второму закону Ньютона, были рассмотрены две формы записи уравнения движения:

Из второго уравнения (7.6.10) следует, что изменение вектора импульса m определяется импульсом силы dt. Такая форма записи очень удобна при решении многих задач.

Запишем в соответствующем виде уравнение движения материальной точки по окружности. Для этого преобразуем левую часть уравнения (7.6.9).

По определению угловое ускорение . Учитывая, что момент инерции материальной точки J = mR² не зависит от времени, можем записать:

Выясним физический смысл величины Jω. Перепишем это выражение в иной форме. Так как J = mR² и Rω = v, то

Выражение mvR естественно назвать моментом импульса.

Используя равенство (7.6.11), уравнение (7.6.9) можем записать в виде:

Приходим к выводу: изменение момента импульса определяется импульсом момента силы, т. е. величиной Mdt.

Для момента импульса будем использовать специальное обозначение Jω = L. Тогда уравнение (7.6.13) примет вид:

где L = Jω = mvR — момент импульса. Скоро мы увидим, что момент импульса, подобно импульсу, сохраняется в замкнутых системах.

Для динамического описания движения материальной точки по окружности мы ввели новые величины: момент силы, момент инерции и момент импульса. Был записан второй закон Ньютона в новой форме. Эта форма чрезвычайно удобна для перехода к динамике вращательного движения твердого тела.