Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 7.8. Плоское движение твердого тела

• Поступательное и вращательное движения твердого тела мы изучали по отдельности. Рассмотрим теперь плоское (или плоскопараллельное) движение, кинематика которого исследовалась в § 7.1. Плоское движение можно рассматривать как вращательное движение вокруг оси, которая перемещается поступательно. Примером плоского движения служит качение колеса.

Наиболее удобным оказывается такой способ описания плоского движения, при котором качение колеса рассматривается как сложение его поступательного движения и вращения относительно центра масс колеса. То же самое имеет место и при произвольном плоском движении.

Для описания плоского движения достаточно записать уравнение движения его центра масс и уравнение для вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс:

Первое уравнение описывает поступательное движение тела. Если бы не было вращения, то все точки тела перемещались бы так же, как и центр масс. В отсутствие поступательного движения второе уравнение описывало бы вращение тела вокруг неподвижной оси.

В качестве примера применения уравнений плоского движения (7.8.1) рассмотрим качение цилиндра. На рисунке 7.37 изображен сплошной цилиндр. К оси цилиндра О₁O₂ прикреплена рамка, на которую действует сила . Кроме силы на цилиндр действуют еще такие силы: сила тяжести _T, сила реакции опоры и сила трения . Tак как ускорение вдоль вертикали отсутствует, то силы _T и взаимно уравновешиваются.

Рис. 7.37

Запишем первое уравнение системы (7.8.1) для движения центра масс:

Все силы, кроме силы трения f, имеют относительно оси цилиндра плечо, равное нулю(1). Момент силы трения М — fR, где R — радиус цилиндра. Поэтому уравнение вращательного движения имеет вид:

При качении цилиндра без проскальзывания линейная и угловая скорости связаны равенством

Если R = const, то так же связаны ускорения:

Следовательно, мы имеем три уравнения — (7.8.2), (7.8.3), (7.8.5) — для определения трех неизвестных а_с, β, f.

Найдем силу трения. Исключая угловое ускорение β из уравнений (7.8.3) и (7.8.5), получим:

Далее из уравнений (7.8.2) и (7.8.6) исключим ускорение а_с. Сила трения равна:

Для сплошного цилиндра и сила трения оказывается равной

Если цилиндр полый, то J = mR² и f₂ = 1/2F. Для полого цилиндра сила трения больше, чем для сплошного. Но, разумеется, она меньше максимальной силы трения покоя. Зная силу трения, легко найти ускорение центра масс по формуле (7.8.6).

Плоское движение описывается с помощью двух уравнений движения и одного кинематического соотношения, связывающего угловое ускорение с ускорением центра масс.

(1) В системе отсчета, связанной с движущейся осью цилиндра О₁O₂, на все элементы цилиндра действуют силы инерции F₁ = -Δm₁а_с. Но суммарный момент этих сил для однородного цилиндра относительно его оси равен нулю.