Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 7.10. Примеры решения задач

Задача 1

На краю горизонтальной платформы массой т и радиусом R, которая может свободно вращаться относительно оси О'О", закреплена небольшая пушка (рис. 7.40). Платформа вначале покоится. Затем из пушки производится выстрел. Снаряд летит по касательной к краю платформы со скоростью .

Масса снаряда m_с, масса пушки m_п. Определите угловую скорость платформы после выстрела. Пушку и снаряд можно рассматривать как материальные точки.

Рис. 7.40

Решение. До выстрела момент внешних сил, действующих на пушку и платформу, равен нулю. Он равен нулю и после выстрела, так как при выстреле между пушкой и снарядом действуют лишь внутренние силы, суммарный момент которых равен нулю. Вследствие этого суммарный момент импульса снаряда, пушки и платформы остается неизменным. До выстрела он был равен нулю. Следовательно, он будет равняться нулю и после выстрела. Это означает, что момент импульса, которым обладает снаряд, равен по модулю и противоположен по знаку моменту импульса платформы и пушки.

Момент импульса снаряда равен произведению импульса снаряда m_сv на плечо, т. е. m_сvR. Момент импульса платформы и пушки состоит из двух частей: момента импульса пушки m_nR²ω и момента импульса платформы 1/2mR²ω (здесь учтено, что пушка рассматривается как материальная точка; для момента инерции платформы использована формула (7.7.3)).

Учитывая, что момент импульса снаряда равен по модулю суммарному моменту импульса пушки и платформы, получим равенство:

Отсюда находим угловую скорость вращения:

Задача 2

Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом R, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами m₁ и m₂ (m₂ > m₁). Масса блока m (рис. 7.41). Определите разность сил натяжения нитей с обеих сторон блока и ускорение грузов. Считать, что нить нерастяжима и не может скользить по блоку.

Рис. 7.41

Решение. Обозначим силы натяжения нитей через ₁ и ₂, ускорения грузов через ₁, ₂.

Направим ось координат по вертикали снизу вверх. Запишем уравнения движения грузов:

Нить нерастяжима, поэтому ускорения ₁ и ₂ равны по модулю: а₁ = а₂.

Исключая с помощью этого условия ускорение а₁ из второго уравнения движения, получим:

Чтобы получить уравнение, содержащее разность сил натяжения нитей, сложим уравнения (7.10.2):

Теперь рассмотрим уравнение вращательного движения блока. Учитывая, что моменты, создаваемые силами ₁ и ₂, имеют противоположные знаки, получим уравнение:

где J — момент инерции блока; β — его угловое ускорение.

Угловое и линейное ускорения связаны соотношением а₁ = βR, поэтому уравнение (7.10.4) можно записать так:

Из уравнений (7.10.3) и (7.10.5) находим искомые величины:

Так как по условию m₂ > m₁ то a₁ > ₀, т. е. ускорение первого груза направлено вверх, а второго — вниз. Из выражения (7.10.7) следует, что Т₁ > T₁. Это понятно, так как диск поворачивается по часовой стрелке.

Если момент инерции блока настолько мал, что выполняется условие

то, как это следует из формулы (7.10.7),

т. е. разность сил натяжения нитей много меньше силы (m₁ - m₁)g.

Если пренебречь моментом инерции блока (J = 0; невесомый блок), то из выражений (7.10.6) и (7.10.7) следует:

Таким образом, в случае невесомого блока натяжение нитей оказывается равным (см. задачу 5 § 2.14).

Упражнение 14

1. Докажите, что кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:

   

   где J — момент инерции, а ω — угловая скорость.

2. Сплошной цилиндр радиусом R и массой m. скатывается с наклонной плоскости с углом α. Определите ускорение центра масс цилиндра и силу трения.
3. Горизонтальная платформа массой m и радиусом R вращается с угловой скоростью ω. На краю платформы стоит человек массой m₁. С какой скоростью ω₁ будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Человека можно рассматривать как материальную точку.
4. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение β = 2 рад/с². Трением пренебречь.
5. Через блок массой m = 10 г перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами m₁ = 10 г и m₂ = 15 г. С каким ускорением движутся грузы? Блок считать сплошным диском.