Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 9.6. Закон Паскаля. Гидростатический парадокс

  • В этом параграфе мы рассмотрим закон природы, выполняющийся только для жидкостей и газов и не применимый к твердым телам.

Мысленно представим себе, что внутри жидкости в данной ее точке расположена маленькая площадка. Жидкость производит давление на эту площадку. Существенно, что давление жидкости на эту маленькую площадку не зависит от ориентации площадки.

Чтобы доказать справедливость данного утверждения, воспользуемся так называемым принципом отвердевания. Согласно этому принципу любой объем жидкости или газа в статическом случае, когда элементы жидкости друг относительно друга не смещаются, можно рассматривать как твердое тело и применить к этому объему условия равновесия твердого тела.

Выделим в жидкости небольшой объем в виде длинной треугольной призмы (рис. 9.23, а), одна из граней которой (грань OBCD) расположена горизонтально. Площади оснований призмы будем считать малыми по сравнению с площадью боковых граней. Малым будет объем призмы, следовательно, и сила тяжести, действующая на эту призму. Этой силой можно пренебречь по сравнению с силами давления, действующими на грани призмы(1).

Рис. 9.23

На рисунке 9.23, б изображено поперечное сечение призмы. На боковые грани призмы действуют силы 1, 2, 3. Силы давления на основания призмы не учитываем, так как они уравновешены. Тогда согласно условию равновесия

Векторы этих сил образуют треугольник, подобный треугольнику АОВ, так как углы в этих двух треугольниках соответственно равны (рис. 9.23, в). Из подобия треугольников следует, что

Умножим знаменатели этих дробей соответственно на OD, ВС и КА (OD = ВС = КА):

Из рисунка 9.23, а видно, что знаменатель каждой дроби равен площади соответствующей боковой грани призмы. Обозначив площади этих граней призмы через S1, S2, S3, получим:

или

Итак, давление в неподвижной жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки внутри жидкости.

Согласно же формуле (9.5.3) давление одинаково во всех точках, лежащих на данном уровне. Это давление на нижележащие слои жидкости создается столбом жидкости высотой h. Поэтому можно заключить, что давление верхних слоев жидкости на слои жидкости, расположенные под ними, передается нижележащими слоями одинаково по всем направлениям.

Но давление на жидкость можно произвести внешними силами, например с помощью поршня. Учитывая это, мы приходим к закону Паскаля: давление, производимое внешними силами на покоящуюся жидкость, передается жидкостью во все стороны одинаково.

В этой формулировке закон Паскаля остается верным и для общего случая, т. е. для случая, когда мы учитываем силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, зависящее от глубины погружения, то приложенные внешние (поверхностные) силы увеличивают давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину.

Закон Паскаля можно подтвердить экспериментально. Если, например, наполнить водой металлический шар, в котором проделано несколько отверстий, и затем сжать воду поршнем, то одинаковые струи воды брызнут из всех отверстий (рис. 9.24, а). Закон Паскаля справедлив также и для газов (рис. 9.24, б).

Рис. 9.24

Гидростатический парадокс

Возьмем три сосуда различной формы (рис. 9.25). В сосуд А налита вода весом 3 Н, в сосуд В — весом 2 Н, а в сосуд С — весом 1 Н. Уровень воды во всех трех сосудах оказался на высоте 0,1 м. Площадь дна у каждого сосуда равна 20 см2 = 0,002 м2. Применяя формулу р = ρgh, мы найдем, что давление на дно каждого сосуда равно 1000 Па. Зная давление, мы по формуле F = pS найдем, что сила давления на дно сосуда во всех трех случаях равна 2 Н. Не может быть, скажете вы. Как может вода весом 1 Н в третьем сосуде создавать силу давления на дно в 2 Н? Это положение, которое кажется противоречащим здравому смыслу, известно под названием «гидростатического парадокса», или «парадоксаПаскаля».

Рис. 9.25

Пытаясь разрешить загадку гидростатического парадокса, Паскаль ставил сосуды, подобные показанным на рисунке 9.25, на специальные весы, позволяющие измерить силу давления на дно каждого сосуда (рис. 9.26, а, б, в). Дно сосуда, стоящее на весах, не было жестко связано с сосудом, а сам сосуд закреплялся неподвижно на особой подставке. Показания весов подтвердили расчеты. Таким образом, вопреки здравому смыслу сила давления на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а зависит лишь от высоты столба жидкости, ее плотности и площади дна.

Рис. 9.26

Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно при помощи очень небольшого количества жидкости создать очень большие силы давления на дно. Паскаль прикрепил к плотно закупоренной бочке трубку площадью сечения 1 см2 и налил в нее воды до высоты 4 м (вес воды в трубке Р = mg = 4 Н). Возникшие силы давления разорвали бочку (рис. 9.27). Приняв площадь дна бочки равной 7500 см2, получим силу давления на дно в 30 000 Н, и эта огромная сила вызвана всего одной кружкой воды (400 см3), налитой в трубку.

Рис. 9.27

Как же объяснить парадокс Паскаля? Сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, которое, согласно закону Паскаля, передается и на дно, и на стенки сосуда. Если жидкость давит на дно и стенки сосуда, то и стенки сосуда производят давление на жидкость (третий закон Ньютона).

Если стенки сосуда вертикальные (рис. 9.28, а), то силы давления стенок сосуда на жидкость направлены горизонтально. Следовательно, вертикальной составляющей эти силы не имеют. Поэтому сила давления жидкости на дно сосуда равна в этом случае весу жидкости в сосуде. Если же сосуд кверху расширяется (рис. 9.28, б) или сужается (рис. 9.28, в), то сила давления стенок сосуда на жидкость имеет вертикальную составляющую, направленную в первом случае вверх, а во втором — вниз. Поэтому в расширяющемся кверху сосуде сила давления на дно равна разности веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок. Следовательно, сила давления на дно в этом случае меньше веса жидкости. В сужающемся кверху сосуде, наоборот, сила давления на дно равна сумме веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок на жидкость. Теперь сила давления на дно больше веса жидкости.

Рис. 9.28

Разумеется, если поставить на чашки весов различные сосуды без отделяющегося дна и не закрепленные на подставках, то показания весов будут различными (2Н, 3Н и 1Н, если массой сосудов можно пренебречь). В этом случае к силе давления жидкости на дно в расширяющемся сосуде будет добавляться вертикальная составляющая сил давления жидкости на боковую поверхность. В сужающемся сосуде соответствующая составляющая сил давления будет вычитаться из силы давления на дно.

Гидравлический пресс

Закон Паскаля позволяет объяснить действие распространенного в технике устройства — гидравлического пресса.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, снабженных поршнями и соединенных трубкой (рис. 9.29). Пространство под поршнями и трубка заполняются жидкостью (минеральным маслом). Обозначим площадь первого поршня через S1, а второго — через S2. Приложим ко второму поршню силу 3. Найдем, какую силу 1 необходимо приложить к первому поршню, чтобы сохранить равновесие.

Рис. 9.29

Согласно закону Паскаля давление во всех точках жидкости должно быть одним и тем же (действием силы тяжести на жидкость пренебрегаем). Но давление под первым поршнем равно , а под вторым .

Следовательно,

Отсюда

Модуль силы 1 во столько же раз больше модуля силы 2, во сколько раз площадь первого поршня больше площади второго. Таким образом, при помощи гидравлического пресса можно посредством малой силы, приложенной к поршню небольшого сечения, получить огромные силы, действующие на поршень большого сечения. Принцип гидравлического пресса используется в гидравлических домкратах для подъема тяжелых грузов.

Благодаря закону Паскаля возможны парадоксальные ситуации, когда кружка воды, добавленная в бочку, приводит к ее разрыву. Тот же закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических прессов.

Вопросы для самопроверки

  1. Сосуд с водой установлен на ребре доски (рис. 9.30). Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить дощечку и на нее поставить гирьку так, что дощечка с гирькой будут плавать на поверхности воды не в середине сосуда?

Рис. 9.30


(1) Площадь поверхности пропорциональна квадрату линейных размеров тела, а объем — кубу. Поэтому у призмы малых размеров силой тяжести, пропорциональной объему, всегда можно пренебречь по сравнению с силой давления, пропорциональной площади поверхности.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru