Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 9.9. Кинематическое описание движения жидкости

• При описании движения жидкости можно поступить так же, как и при рассмотрении движения твердого тела: разбить жидкость на малые элементы и следить за движением каждого такого элемента в пространстве с течением времени. Картина движения элементов жидкости в общем случае очень сложна. Как правило, проследить за движением отдельных элементов жидкости очень трудно. Поэтому обычно используют другой способ описания.
• Вместо того чтобы следить за движением отдельных элементов жидкости, можно фиксировать скорости различных элементов жидкости в одних и тех же точках пространства.

Стационарное движение жидкости. Трубки тока

Скорости элементов жидкости в различных точках пространства, вообще говоря, различны. Если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем, то движение жидкости называется стационарным (установившимся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку с одним и тем же значением скорости v. В другой какой-либо точке скорость частицы будет иной, но также постоянной во времени.

Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной. Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Объем жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока (рис. 9.37). Скорости элементов жидкости в каждой точке поверхности трубки тока направлены по касательной к этой поверхности. Поэтому частицы при своем движении не пересекают стенок трубки тока. При исследовании течения жидкости вместо реальных труб можно рассматривать трубки тока.

Рис. 9.37

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Разобьем жидкость, текущую по трубе переменного сечения, на отдельные трубки тока, настолько тонкие, что в каждом сечении скорости элементов жидкости можно считать одинаковыми.

Рассмотрим два сечения трубки тока с площадями S₁ и S₂ (рис. 9.38). Обозначим через ₁ и ₂ соответствующие скорости течения жидкости.

Рис. 9.38

За малое время Δt через первое сечение проходит жидкость, масса которой равна ρ₁S₁v₁Δt, а через второе — ρ₂S₂v₂Δt. Здесь ρ₁ и ρ₂ — плотности жидкости в первом и втором сечениях. Для несжимаемой жидкости ρ₁ = ρ₂ и объем жидкости, прошедшей через первое сечение, равен объему жидкости, протекающей через второе сечение:

ведь жидкость не пересекает стенок трубки тока и не может в ней накапливаться вследствие несжимаемости.

Разделив обе части равенства (9.9.1) на Δt, получим:

или

Результат можно сформулировать так: модули скоростей несжимаемой жидкости в двух сечениях трубки тока обратно пропорциональны площадям сечений. Соотношение (9.9.2) представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости. Оно справедливо как для стационарного течения, так и для нестационарного.

Согласно уравнению неразрывности скорость жидкости в узких местах трубки больше, чем в широких.

Наш результат справедлив непосредственно для узких трубок тока. Однако если скорости при переходе от одной трубки тока к другой вдоль одного и того же сечения потока (например, в трубке с твердыми стенками) меняются не очень значительно, то уравнение неразрывности можно приближенно применять и для течения всей жидкости. В этом случае под ₁ и ₂ следует понимать средние по сечениям скорости жидкости.

Если при течении жидкости сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то справедливо уравнение неразрывности.