|
|
Учебник для 10 класса ФИЗИКА§ 9.15. Примеры решения задачВ задачах на расчет деформаций твердых тел используется понятие напряжения (9.3.1), закон Гука в форме (9.3.2) и (9.3.4), а также понятие предела прочности и запаса прочности (9.3.5). При решении задач по гидростатике используются основные законы этого раздела: закон Паскаля и закон Архимеда. В этом разделе иногда применяют условия равновесия твердого тела. При рассмотрении равновесия тел в неинерциальных системах отсчета необходимо учитывать силы инерции. Задачи о плавании тел решаются на основе условий равновесия.
Задачи гидродинамики решаются с использованием уравнения Бернулли, но можно решать их, применяя закон сохранения энергии. Задача 1 Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной l0 = 3 м и площадью сечения S = 1 мм2 для ее удлинения на Δl = 1,5 мм? Решение. Согласно закону Гука σ = Еε, где Е = 1011 Па — модуль Юнга для латуни, σ = — напряжение и ε = — относительное удлинение. Закон Гука можно записать в форме
отсюда
Выразим данные величины в единицах СИ: S = 106 м2, Δl = 1,5 • 10-3 м. Найдем модуль деформирующей силы:
Задача 2 Какой наибольшей высоты можно выложить башню из кирпича, предел прочности на сжатие у которого равен 6 • 106 Па, если принять запас прочности равным 10? Плотность кирпича 1800 кг/м7. Решение. Зная запас прочности, находим допустимое напряжение σдоп = . Деформирующей силой является сила тяжести, действующая на башню. Максимально допустимое напряжение испытывает основание башни:
Учитывая запас прочности, получаем:
Отсюда
Задача 3 Шарик из дерева плотностью ρ1 = 500 кг/м3 удерживается в воде в затопленном состоянии легкой пружиной (рис. 9.52). Чему равно растяжение х2 пружины, если подвешенный в воздухе шарик растягивает ее на x1 = 1 см? Объемом пружины пренебречь. Плотность воды ρ2 = 103 кг/м3.
Рис. 9.52 Решение. Когда шарик висит на пружине в воздухе, то сила упругости пружины уравновешивает силу тяжести, действующую на шарик:
где k — жесткость пружины и V — объем шарика. На шарик в затопленном состоянии вниз действуют сила тяжести и сила упругости со стороны растянутой пружины. Эти силы уравновешиваются действующей вверх на шарик архимедовой силой:
Разделив почленно (9.15.2) на (9.15.1), получим:
Откуда
Задача 4 Неоднородная твердая балка BD массой m подвешена на трех одинаковых параллельных тросах, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Один из тросов прикреплен в середине балки, а два других — на ее концах. Определите силы реакции тросов, если центр тяжести балки расположен на расстоянии ВК = BD от точки В балки (рис. 9.53).
Рис. 9.53 Решение. Обозначим искомые силы через F1, F2, F3. Расстояния между тросами будем считать равными а. Сила тяжести приложена в точке К на расстоянии от точки В. Законы статики дают нам два условия равновесия: равенство нулю суммы проекций сил на ось У:
и равенство нулю суммы моментов этих сил относительно оси, проходящей, например, через точку В:
Мы получили два уравнения с тремя неизвестными. Если считать тросы абсолютно твердыми, как это мы делали в статике, то больше никаких уравнений получить нельзя. Чтобы найти недостающее уравнение, будем считать тросы упругими телами, подчиняющимися закону Гука. Пусть тросы имеют одинаковую длину, но сделаны из разных материалов и имеют разные площади S1, S2, S3 поперечных сечений. Модули Юнга тросов соответственно равны E1, E2, Е3. Под действием нагрузки тросы получают абсолютные удлинения Δl1, Δl2, Δl3 (см. рис. 9.53). Для каждого троса на основании закона Гука можно записать:
где σ1, σ2, σ3 — напряжения в тросах. Учитывая определение напряжения (9.3.1), получим:
Откуда
Так как BD — прямая линия, то из подобия треугольников ABD и CDE (см. рис. 9.53) можно записать:
или
Это и есть недостающее третье уравнение. Решите самостоятельно полученную систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными в общем виде. Мы в соответствии с условием задачи будем считать, что тросы сделаны из одного и того же материала и имеют одинаковые сечения. Тогда получим три следующих уравнения:
Отсюда находим:
Задача 5 Сосуд с жидкостью движется горизонтально с постоянным ускорением а, направленным горизонтально. Как расположится поверхность жидкости? Чему равно давление внутри жидкости в произвольной точке? Решение. Проще всего решать задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с сосудом. Выделим на поверхности жидкости малый элемент жидкости массой Δm (рис. 9.54, а). В системе отсчета, связанной с сосудом, на выделенный элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести Δm, сила инерции и, направленная противоположно ускорению системы, и сила нормальной реакции со стороны остальной жидкости.
Рис. 9.54 Выделенный элемент жидкости находится в равновесии. Поэтому вектор должен быть направлен противоположно сумме векторов и и Δm. А это значит, что свободная поверхность жидкости расположится не горизонтально, а наклонно — перпендикулярно вектору . Согласно условию равновесия Δm + и + = 0. При геометрическом сложении этих сил они образуют замкнутый треугольник (рис. 9.54, б), из которого следует:
Откуда α = arctg. Такой угол поверхность жидкости образует с горизонтом. Обозначим модуль ускорения, создаваемого силой тяжести и силой инерции (рис. 9.55, а), через a1, тогда а1 = . Направление ускорения 1 должно быть перпендикулярно поверхности, так как оно создается результирующей силой и + m, которая уравновешивает силу .
Рис. 9.55 Давление в любой точке В внутри жидкости можно выразить через высоту h до поверхности жидкости по вертикали или через расстояние l до поверхности жидкости по горизонтали. Расстояние от точки В до поверхности жидкости по нормали к ней обозначим через h' (рис. 9.55, б). Из прямоугольных треугольников ABD и DBC находим:
Но
(см. рис. 9.55, а). Поэтому
где р0 — давление на поверхность жидкости, ρ — плотность жидкости. Из (9.15.4) следует, что уровни постоянного давления совпадают с плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Заметим, что при действии силы тяжести и горизонтально направленной силы инерции архимедова сила направлена не вертикально вверх, а по нормали к поверхности жидкости и равна:
Задача 6 На поршень шприца, имеющий площадь S, действует постоянная сила . С какой скоростью должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия шприца площадью s, если плотность жидкости равна ρ? Решение. Пусть за время τ поршень перемещается на расстояние uτ (рис. 9.56), где u — модуль скорости поршня. Тогда сила совершает за это время работу А = Fuτ. Масса вытекшей за время τ жидкости равна ρSuτ. Изменение кинетической энергии равно . Согласно закону сохранения энергии
Рис. 9.56 Модуль скорости истечения жидкости связан с модулем скорости соотношением (см. формулу (9.9.2)):
Исключая из двух последних уравнений и, найдем:
Если, как обычно, s << S, то
Результат (9.15.8) можно получить короче с помощью уравнения Бернулли (9.9.2):
В нашем случае p1 = р0+ , а р2 = р0, где р0 — атмосферное давление. Отсюда
Уравнения (9.15.6) и (9.15.9) эквивалентны. Задача 7 В сосуд, в дне которого имеется узкое отверстие, закрытое пробкой, налита вода до высоты h = 1 м. На поверхности воды находится поршень массой m = 1 кг и площадью S = 100 см2. Между поршнем и стенками сосуда вода не просачивается. Найдите скорость истечения воды из отверстия в дне сосуда сразу после того, как из отверстия будет вынута пробка. Трение не учитывать. Решение. Воспользуемся уравнением Бернулли. Давление в струе воды равно атмосферному р0. Давление под поршнем на высоте h от отверстия равно р0 + . Скоростью течения жидкости под поршнем можно пренебречь, так как она мала по сравнению со скоростью истечения из отверстия, потому что площадь отверстия значительно меньше площади поршня (см. § 9.2). Согласно уравнению Бернулли
Отсюда
Упражнение 16
|
|
|