Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 1.7. Средняя скорость при неравномерном прямолинейном движении. Мгновенная скорость

Ни одно тело не движется все время с постоянной скоростью. Трогаясь с места, автомобиль начинает двигаться все быстрее и быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но рано или поздно замедляет движение и останавливается. При этом он проходит различные расстояния за одни и те же интервалы времени.

Что же надо понимать под скоростью, если тело движется неравномерно?

Средняя скорость

Введем понятие средней скорости неравномерного движения за интервал времени At.

Средней (по времени) скоростью неравномерного движения точки называется отношение изменения ее координаты Δх к интервалу времени Δt, в течение которого это изменение произошло:

По форме определение средней скорости неравномерного движения не отличается от определения скорости равномерного движения. Но содержание его будет иным¹. Теперь отношение — уже не постоянно. Оно зависит как от значения интервала времени Δt = t₂ - t₁ так и от выбора начального момента времени t1. Например, согласно таблице 1, средняя скорость автомобиля на интервале времени от 2-й до 4-й минуты равна = 540 м/мин, на интервале от 2-й до 3-й минуты равна = 790 м/мин, а на интервале от 3-й до 4-й минуты мы получаем значение = 290 м/мин.

Средняя скорость характеризует движение в течение интервала времени Δt именно в среднем и ничего не говорит о том, как же движется автомобиль в различные моменты времени этого интервала.

Другой пример. На рисунке 1.14 показан график скорости спринтера при забеге на 200 м. Проанализируем этот забег. Будем считать беговую дорожку прямолинейной. С точки зрения результата нас, конечно, интересует время забега (Δt = 20 с), и поэтому бег спортсмена можно характеризовать средней скоростью. Если координатную ось X совместить с беговой дорожкой (за начало отсчета можно принять точку на линии старта), то Δx = 200 м. Тогда v_x = = 10 м/с.

Рис. 1.14

Но спортсмена и его тренера интересуют и детали забега: сколько времени длился разбег, какую скорость развил спортсмен в конце разбега (точка В на графике). Ведь этим и будет определяться время забега. Но скорость спортсмена, соответствующая точке В графика, это уже не средняя скорость, а скорость спортсмена в момент времени t = 4 с.

Мгновенная скорость

Мгновенную скорость естественно было бы определить как скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. На первый взгляд определение очень простое и понятное. Но так ли это? Как надо, например, понимать следующее утверждение: «Скорость автомобиля в момент начала торможения была 90 км/ч»? Перефразировка этого утверждения «В момент начала торможения автомобиль за 1 ч прошел 90 км » бессмысленна.

Утверждение это, видимо, понимать надо так: если бы начиная с указанного момента времени автомобиль не стал бы тормозить, а продолжал бы двигаться так же, т. е. с той же быстротой, то за 1 ч он прошел бы 90 км, за 0,5 ч — 45 км, за 1 мин — 1,5 км, за 1 с — 25 м и т. д.

Результат последнего рассуждения весьма важен, ибо показывает, как в принципе можно определить мгновенную скорость автомобиля в момент t начала торможения (или любого другого тела, движущегося прямолинейно и неравномерно). Надо измерить среднюю скорость автомобиля на интервале времени от t до t + Δt и согласиться, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени t приблизительно равна этой средней скорости. Приближение будет тем лучше и, следовательно, мгновенная скорость будет определена тем точнее, чем меньше промежуток времени Δt. Ведь надо, чтобы на этом промежутке скорость менялась незначительно, а лучше, чтобы этим изменением вообще можно было пренебречь. Последнее замечание заставляет нас брать величину Δt все меньше и меньше, не ставя ограничения этому уменьшению. В математике это называют «стремление интервала времени Δt к нулю» и обозначают «Δt —> 0».

За очень малый промежуток времени от t до t + Δt координата тела изменится также на малую величину Δх. Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени t, надо малую величину Δх разделить на малую величину Δt и посмотреть, чему будет равно частное, если промежуток Δt неограниченно уменьшать, т. е. стремить к нулю. В математике говорят: «Найти предел отношения при стремлении Δt к нулю» и записывают: , где знак lim означает «предел».

Поясним сказанное на примере, когда движение тела описывается аналитически (формулой). Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

Пусть при движении тела вдоль оси X его координата изменяется согласно уравнению

х = kt²,

где k — постоянный коэффициент².

Примем k = 5 м/с² и вычислим изменения координаты тела за интервалы времени, равные 0,1, 0,01, 0,001 с ..., отсчитываемые, например, с момента времени t₁ = 1 с:

Найдем теперь отношения изменений координаты к тем промежуткам времени, за которые эти изменения произошли:

Результаты вычислений приведены в таблице 2.

Таблица 2

Из таблицы видно, что по мере приближения интервала времени Δt к нулю отношение приближается к определенному значению (пределу), равному 10 м/с; это и есть скорость в момент времени t1 = 1 с.

Если тело движется по закону х = kt², то предел при нетрудно вычислить. В начальный момент времени t х₁ = kt², а в момент t + Δt x₂ = k(t + Δt)², следовательно, Δx = х₂ - х₁ = k(t + Δt)² - kt² = 2ktΔt + k(Δt)².

Тогда для отношения получим:

= 2kt + kΔt.

Предел этого отношения при Δt —> 0 (мгновенная скорость) равен

Для данных нашего примера v_x = 10 м/с.

Таким образом, для любого момента времени отношение изменения координаты тела к промежутку времени, за который это изменение произошло, стремится к определенному значению при стремлении самого промежутка времени к нулю. Полученный вывод справедлив для любого неравномерного движения.

Мгновенной скоростью при прямолинейном движении называется предел, к которому стремится отношение изменения координаты точки к интервалу времени, за которое это изменение произошло, если интервал времени стремится к нулю³.

По определению имеем:

В математике выражение принято обозначать .

Тогда формулу (1.7.1) можно записать так:

Выражение называется производной координаты по времени.

Иногда производную обозначают иначе: (читается «икс-штрих»).

Когда мы говорим, что скорость в данный момент времени равна 10 м/с, то это означает следующее: если бы начиная с этого момента тело продолжало двигаться равномерно целую секунду, то оно прошло бы 10 м. При равномерном движении средняя скорость за любой момент времени равна мгновенной. В дальнейшем вы убедитесь, что именно мгновенная, а не средняя скорость играет в механике основную роль.

Как измерить мгновенную скорость

Измерить мгновенную скорость, осуществив экспериментально предельныи переход при Δt —» О, практически невозможно. Используя стробоскопические фотографии (рис. 1.15), можно измерить координаты тела в очень близкие моменты времени и вычислить средние скорости между этими моментами. Но мгновенную скорость так определить нельзя.

Рис. 1.15

Для измерения (разумеется, приближенного) используют различные явления, которые зависят от мгновенной скорости. Так, в спидометре автомобиля гибкий тросик передает вращение от ведомого вала коробки передач к маленькому постоянному магниту. Вращение магнита возбуждает электрический ток в катушке, в результате чего происходит поворот стрелки спидометра.

Чтобы узнать скорость самолета, измеряют давление встречного потока воздуха. В радарах используют изменение частоты радиоволн при отражении от движущихся тел.

Рисунок с фотографии двух падающих шариков различной массы. Фотографию получили, открывая объектив и чередуя вспышки света каждые 1/30 с. Заметьте, что маленький шарик достигает пола одновременно с большим. Оба шарика начинают падать одновременно.

¹ Здесь и в дальнейшем черта над обозначением величины означает среднее значение этой величины.

² Потом мы увидим, что именно так меняется координата падающего на землю с небольшой высоты камня.

³ Строго говоря, здесь речь идет об определении проекции мгновенной скорости на ось X (см. § 1.12).