Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

§ 2.14. Примеры решения задач

В этом параграфе мы познакомимся с задачами на применение второго закона Ньютона, для решения которых не нужно знать зависимость сил от расстояний между телами (или частями одного тела) и от их относительных скоростей(1).

Силы, действующие на тела, считаем постоянными (кроме случаев, о которых идет речь в отдельных качественных задачах).

1. При решении задач нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся. Все известные силы надо изобразить на рисунке. При этом нужно отчетливо представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматриваемые силы.

Не следует забывать, что действие одного тела на другое является взаимным. Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона.

Может оказаться, что направление силы, которую требуется определить, не известно. В процессе решения задачи мы найдем проекции этой силы на координатные оси и по проекциям определим модуль силы и ее направление. Затем сила может быть изображена на рисунке.

Если в задаче говорится о системе нескольких тел, то изображаются силы, действующие на каждое из тел.

2. Нужно выбрать систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тел. Координатные оси целесообразно располагать так, чтобы проекции сил на эти оси определялись наиболее просто. В случае прямолинейного движения удобно одну из осей направить вдоль этой прямой, а другую перпендикулярно ей.
3. Для каждого тела системы записывается второй закон Ньютона в векторной форме:

После этого второй закон переписывается для проекций ускорений и сил на оси выбранной системы координат:

На том или ином этапе решения задачи вместо проекций векторов, направления которых известны, подставляются модули этих проекций с соответствующими знаками перед ними. Эту подстановку можно делать как в исходных уравнениях для проекций (2.14.2), так и в конечной формуле, определяющей ответ задачи.

После того как будет приобретен опыт в решении задач, для экономии времени и бумаги можно сразу записывать уравнения движения для проекций и подставлять в них значения модулей проекций, если знаки проекций известны.

4. Для решения задач о движении системы тел, соединенных тем или иным способом друг с другом, одних уравнений движения недостаточно. Нужно записать еще так называемые кинематические условия. Эти условия выражают соотношения между ускорениями тел системы, обусловленными связями между ними.

В частности, тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют вдоль этой нити одинаковые по модулю ускорения: а₁ = а₂. При этом нить может быть перекинута через неподвижные блоки.

При наличии подвижного блока (рис. 2.31) ускорение тела А в два раза больше ускорения тела В, так как за одно и то же время тело А пройдет вдвое больший путь, чем тело В.

Рис. 2.31

5. Массой нитей, связывающих тела, во всех предлагаемых задачах пренебрегают. Лишь в этом случае натяжение нити одинаково во всех сечениях и одинаковы по модулю силы, действующие на нить со стороны прикрепленных к ней тел (рис. 2.32).

Рис. 2.32

Действительно, пусть на нить действуют силы ₁ и ₂. Согласно второму закону Ньютона mна = ₁ + ₂. Так как масса нити считается равной нулю (m_n = 0), ₁ = -₂ и F₁ - F₂.

По третьему закону Ньютона одинаковы по модулю и силы, которыми нить действует на прикрепленные к ней тела.

Массой всех блоков, встречающихся в условиях задач, также будем пренебрегать. В этом случае натяжение перекинутой через блок нити можно считать одинаковым по обе стороны блока. В противном случае натяжение нити по обе стороны блока будет различным. За счет различия в натяжении угловая скорость блока, обладающего массой, будет изменяться.

6. Если в задаче требуется найти не только силы или ускорения, но также координаты (или пройденные пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движения нужно использовать кинематические формулы координат и скоростей.
7. Решение задачи следует сначала получить в общем виде и лишь затем подставить числовые значения в одной определенной системе единиц.

Получив ответ, надо проверить, все ли члены в решении имеют правильные наименования единиц. Такая проверка поможет обнаружить возможную ошибку в расчетах.

Полезно проследить, как будут изменяться найденные величины в зависимости от величин, заданных в условии задачи. Если, к примеру, окажется, что при некоторых значениях заданных в условии величин искомая величина обращается в бесконечность, то это указывает обычно на ошибку в решении или на неприменимость использованной физической модели.

8. Решение задач на динамику движения тела (материальной точки) по окружности принципиально не отличается от решения задач на прямолинейное движение.

Задача 1

При каких условиях тело (материальная точка) движется с постоянным ускорением? движется прямолинейно?

Решение. Ответ на первый вопрос сразу же следует из второго закона Ньютона:

(под будем понимать векторную сумму всех сил, действующих на тело). Так как масса тела постоянна, то не будет изменяться ни по модулю, ни по направлению, если сила будет постоянной.

Для прямолинейного движения тела необходимо и достаточно, чтобы вектор силы, действующей на тело, был расположен на одной прямой с вектором начальной скорости.

Действительно, в этом случае приращение скорости за малый интервал времени Δt, равное

будет направлено вдоль действия силы. Вдоль этой линии будет направлена и скорость . В следующий промежуток времени произойдет тот же процесс. В результате в любой момент времени вектор скорости тела окажется расположенным на одной прямой с вектором силы.

Задача 2

Груз массой m = 20 кг поднимают вверх с помощью веревки так, что в течение первого промежутка времени Δt₁ = 2 с его скорость меняется от v₀ = 2 м/с до v₁ = 6 м/с. В последующий промежуток времени Δt₂ = 1 с скорость уменьшается до значения v₂ = 2 м/с. Найдите модули сил, с которыми веревка действовала на груз в промежутки времени Δt₁ и Δt₂, считая эти силы постоянными.

Решение. В течение первого промежутка времени на тело действуют две силы: сила тяжести _т = m, направленная вниз, и сила натяжения веревки ₁, направленная вверх (рис. 2.33). Координатную ось У направим вертикально вверх.

Рис. 2.33

Согласно второму закону Ньютона

В проекциях на ось Y это уравнение запишется так:

При выбранном направлении оси Y

Отсюда

Для нахождения силы надо определить проекцию а_1у ускорения с помощью кинематической формулы скорости при движении с постоянным ускорением:

В проекциях на ось Y будем иметь

Учитывая, что v₁y = v₁ и v_0y = v₀, получим

Проекция а_1y > 0; это означает, что ускорение тела а₁ направлено в положительном направлении оси Y, в данном случае вверх.

Подставляя в уравнение (2.14.3) найденное значение а_1у, определим модуль силы ₁:

При решении второй части задачи учтем, что формулы (2.14.3) и (2.14.4) остаются справедливыми. Нужно только индекс «1» заменить на индекс «2» и вместо начальной скорости v₀ взять скорость v₁ Тогда

Проекция а_2у = -4 м/с²; это означает, что ускорение тела ₂ направлено против положительного направления оси Y, т. е. вниз. Искомая сила

Задача 3

На невесомом стержне равномерно вращается в вертикальной плоскости груз массой т = 0,9 кг. Модуль скорости груза v = 3 м/с, длина стержня l = 1м. Найдите, с какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на груз в тот момент, когда стержень занимает горизонтальное положение.

Решение. На груз действуют две силы: сила тяжести _т = m, направленная вниз, и сила реакции со стороны стержня (рис. 2.34, а). Так как направление силы нам не известно, то ее на рисунке не изображаем. При равномерном движении по окружности груз имеет лишь нормальное ускорение _n, направленное к оси вращения стержня. Оси координат X и У выберем так, как показано на рисунке 2.34, а.

Рис. 2.34

Так как нам не известны ни модуль, ни направление силы , то необходимо найти ее проекции на оси координат.

Согласно второму закону Ньютона

В проекциях на оси координат получим

В данном случае

Теперь система уравнений для проекций примет следующий вид:

Найдем модуль силы :

Направление силы определяется углом, который она образует, например, с осью X:

Итак, стержень действует на груз с силой, модуль которой равен 12 Н. Направлена сила под углом 47,5° к стержню внутрь окружности, по которой движется груз (рис. 2.34, б).

Задача 4

На гладкой горизонтальной поверхности расположены три тела массами m₁, m₂ и m₃, связанные нерастяжимыми нитями друг с другом (рис. 2.35, a). К телу массой m₁ прикреплена перекинутая через блок нить, на конце которой находится груз массой m₄. Найдите модули ускорений тел системы и сил натяжения ₁, ₂, ₃ всех нитей. Массами нитей и блока пренебречь.

Решение. Силы, действующие на тела, изображены на рисунке 2.35, б. При этом силы, действующие по вертикали на тела массами m₁ m₂ и m₃, взаимно уравновешиваются и их рассмотрение не требуется для решения задачи.

Рис. 2.35

Ось X направим горизонтально слева направо, а ось У — вертикально вверх.

Уравнения движения для проекций ускорений и сил на оси X и У для всех четырех тел будут иметь следующий вид:

Вследствие нерастяжимости нитей модули ускорений равны: a₁ = a₂ = a₃ = а₄ = а. Так как массами нитей и блоков пренебрегаем, то с учетом положительных направлений осей Х и У имеем

Уравнения для модулей ускорений и сил с учетом соотношений (2.14.5) и (2.14.6) запишутся следующим образом:

Складывая три первых уравнения и вычитая из полученной суммы четвертое уравнение, получим

откуда

Подставляя найденное значение а поочередно во все уравнения движения системы (2.14.7), начиная с последнего, получим

Обратите внимание на то, что сила натяжения Т₁ первой нити не равна силе тяжести m₄g, как это было бы для покоящегося тела, а меньше в отношение

Как и следовало ожидать, Т₁ > Т₂ > Т₃, так как нити сообщают одинаковые ускорения телам разной массы.

Задача 5

Найдите силы натяжения Т₁ и Т₂ нитей abed и се в устройстве с подвижным блоком, изображенном на рисунке 2.36, а. Массы тел соответственно равны m₁ = 3 кг и m₂ = 2 кг.

Решение. Так как массой нитей и блоков можно пренебречь, то натяжение нитей одинаково во всех сечениях. Нить abcd, огибающая блоки, будет действовать на тело массой m₁ и на левую и правую стороны подвижного блока с одинаковой силой ₁ (рис. 2.36, б). Нить се, соединяющая тело массой m₂ с подвижным блоком, действует на них с одинаковыми по модулю силами: Т₂ = Т'₂.

Рис. 2.36

Координатную ось Y направим вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона сразу для проекций на ось У. Учитывая, что Т_1у = T₁, Т_2у = Т₂, Т'_2у = -Т₂, F_1y = -m₁g, F_2y = -m₂g, no-лучим следующую систему уравнений:

Последнее уравнение написано для подвижного блока с учетом того, что его масса равна нулю.

Система трех уравнений содержит четыре неизвестных: Т₁, Т₂, а_1y и а_2y. Необходимо добавить кинематическое условие, связывающее проекции ускорений а_1y и а_2y. При наличии подвижного блока а₁ = 2а₂. Так как ускорения ₁ и ₂ направлены в противоположные стороны, то а_1y = -2а_2y.

Исключая силу натяжения Т₂ из системы уравнений (2.14.10) и используя кинематическое условие связи ускорений, получим

Решая эту систему уравнений, найдем

Учитывая, что Т₂ = 2T₁ получим Т₂ = 25,2 Н. Так как а_2у > 0, то ускорение ₂ направлено вверх.

Проекция ускорения первого тела а_1y = -2a_2y ≈ -6 м/с². Модуль ускорения а₁ ≈ 6 м/с². Знак «минус» у проекции ускорения ₁ показывает, что ускорение первого тела направлено противоположно оси Y, т. е. вниз.

Упражнение 7

1. На шар действует приложенная к его центру сила, совпадающая по направлению со скоростью шара. Модуль силы изменяется с течением времени так, как показано на рисунке 2.37. Какое движение совершает шар и в какой момент времени его скорость максимальна?

   

   Рис. 2.37

2. Проекция F_x силы, действующей на тело, изменяется со временем так, как показано на рисунке 2.38. Сила направлена вдоль оси X. Начальная скорость и координата тела равны нулю. Начертите графики зависимости проекции скорости v_x(t) и координаты x(t) от времени.

   

   Рис. 2.38

3. При движении тела массой m = 0,1 кг его координата меняется в зависимости от времени следующим образом: х = 15 м/с² • t² + + 2 м/с • t. Найдите силу, действующую на тело.
4. Груз, подвешенный на нити длиной L, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Нить описывает коническую поверхность, составляя с вертикалью угол а. Найдите период Т обращения груза. Чему должна быть равна максимальная сила натяжения нити F, чтобы радиус окружности, по которой движется груз, мог достигнуть значения ?
5. Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью v = 54 км/ч, налетела на бетонную стену. При этом передняя часть машины смялась так, что ее длина уменьшилась на l₁ = 0,5 м. Какая постоянная сила должна действовать на пассажира со стороны ремня безопасности, чтобы он не разбил головой ветровое стекло? Расстояние от головы пассажира до ветрового стекла l₂ = 0,5 м. Масса пассажира m = 60 кг.
6. К концу невесомого стержня длиной 1 м прикреплен небольшой шарик массой 0,1 кг; другой конец стержня закреплен на горизонтальной оси. Стержень равномерно вращается в вертикальной плоскости. С какой по модулю силой и в каком направлении шарик действует на стержень при прохождении наивысшей точки траектории, если скорость шарика 6 м/с (3,2 м/с; 1 м/с)?
7. Невесомый стержень изогнут под углом α =30° (рис. 2.39). На конце участка стержня АВ длиной 80 см закреплен маленький шарик массой 1 кг. Система вращается вокруг вертикального участка стержня так, что скорость шарика равна 2 м/с. С какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на шарик?

   

   Рис. 2.39

8. Найдите модули ускорения грузов и сил натяжения нитей для системы грузов, изображенной на рисунке 2.40, Массой нитей и блока, а также трением в оси блока пренебречь. Массы грузов соответственно равны 1, 2 и 3 кг.

   

   Рис. 2.40

9. На рисунке 2.41 изображена система движущихся тел, имеющих массы m₁ = m, m₂ = 4m, m₃ = m. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α = 30°. Трение отсутствует. Определите силы натяжения нитей.

   

   Рис. 2.41

10. На рисунке 2.42 показаны графики 1, 2 зависимости модуля силы, удерживающей тело на окружности, от ее радиуса. В одном случае — это гипербола, а в другом — прямая. Как объяснить это кажущееся противоречие?

    

    Рис. 2.42

11. Конус с углом раствора 2а вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (рис. 2.43). В конусе находится шарик массой тп, прикрепленный к внутренней поверхности конуса при помощи нити. Радиус окружности, по которой обращается шарик, равен R. Найдите силу натяжения нити Т и силу давления шарика Р на поверхность конуса. Трение не учитывать.

    

    Рис. 2.43

12. Как определить направление вращения ротора двигателя кофемолки, если ее корпус непрозрачен?
13. На оси центробежной машины закреплена нить длиной l = 12,5 см, на конце которой находится маленький шарик (рис. 2.44). Найдите угол α между нитью и вертикалью, если машина вращается с частотой v₁ = 1Гц(v₂ = 2 Гц).

Рис. 2.44

(1) Силу тяжести, действующую на тела у поверхности Земли, будем считать известной: _т = m. Эта формула должна быть вам знакома.