Учебник для 10 класса

ФИЗИКА

       

§ 6.2. Работа силы

  • Слово «работа» часто встречается в повседневной жизни в довольно разнообразных смыслах. В младших классах вы уже познакомились с понятием работы в физике. Однако многие существенные моменты этого понятия остались вне поля зрения.

Импульс силы и работа

Второй закон Ньютона, записанный в форме Δ = Δt, позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если на тело в течение времени Δt действует сила .

Но во многих случаях важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещении тела на Δ на него действует сила . Действия сил на тела, приводящие к изменению модуля их скоростей, характеризуются величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений тел, на которые эти силы действуют. Эту величину называют работой.

Определение работы

Нужно передвинуть шкаф из одного угла комнаты в другой. Никто не усомнится в том, что совершаемая при этом работа тем больше, чем больше перемещение шкафа. Тяжелый шкаф требует для своего перемещения большей работы из-за того, что к нему надо прикладывать большую силу. Поэтому естественно считать работу пропорциональной произведению силы на перемещение.

Однако в физике работа определяется несколько иначе. Для приведения тела в движение и для его остановки на тело должна действовать сила, совершающая работу. Но при движении с постоянной скоростью в отсутствие трения совершать работу не нужно. Согласно закону инерции тело движется с постоянной скоростью без действия на него сил. Не совершается работа и в том случае, когда сила перпендикулярна скорости. В этом случае скорость тела не меняется по модулю (см. § 2.5) и необходимое ускорение телу сообщает сила, перпендикулярная скорости. При движении по окружности модуль этой силы не меняется. Так, камень, раскрученный на веревке, в отсутствие трения будет двигаться сам собой сколь угодно долго. Работа при этом не совершается. Она необходима только для сообщения камню постоянной скорости.

Изменение скорости по модулю возможно лишь в том случае, когда проекция силы на направление перемещения тела Fr отлична от нуля. Именно эта проекция определяет действие силы, изменяющее скорость тела по модулю, а значит, и совершаемую работу. Поэтому работу следует рассматривать как произведение проекции Fr на модуль |Δ| перемещения (рис. 6.2):

Рис. 6.2

Если угол между силой и перемещением обозначить через α, то Fr = Fcos α. Следовательно, работа равна

Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними.

Формулы (6.2.1) и (6.2.2) справедливы в том случае, когда сила постоянна и перемещение тела происходит вдоль прямой. Малые отрезки траектории всегда можно считать прямолинейными, а силу на малом отрезке постоянной.

Работа может быть как положительной, так и отрицательной. Знак работы определяется знаком косинуса угла между силой и перемещением. Если а < 90°, то работа положительна (А > 0), так как косинус острых углов положителен. При а > 90° работа отрицательна, так как косинус тупых углов отрицателен. При а = 90° (сила перпендикулярна перемещению) работа не совершается. Так, сила тяжести не совершает работу при перемещении тела вдоль горизонтальной плоскости. При движении спутника по круговой орбите сила тяготения также не совершает работы.

Работа нескольких сил, действующих на одно тело

Если на тело действует несколько сил, то проекция результирующей силы на перемещение равна сумме проекций отдельных сил:

Поэтому для работы результирующей силы получим выражение

Итак, если на тело действует несколько сил, то полная работа (работа всех сил) равна работе результирующей силы.

Иногда говорят, что работа данной силы равна произведению проекции силы на перемещение, вызванное данной силой. Из формулы (6.2.4) видно, что это неверно. Работа данной силы i есть произведение проекции ir этой силы на модуль |Δ| перемещения тела. Не важно, что вызывает перемещение тела. На него, кроме данной силы, могут действовать другие силы. Перемещение зависит от скорости, которую успело приобрести тело. Работа же данной силы всегда определяется произведением этой силы на перемещение тела и на косинус угла между силой и перемещением.

Работа как скалярное произведение силы и перемещения

Из определения работы следует, что она в отличие от силы и перемещения является не векторной, а скалярной величиной. В математике произведение модулей двух векторов на косинус угла между ними называют скалярным произведением векторов и записывают так: • Δ. Это выражение есть компактная символическая запись произведения F|Δ|cos α:

Следовательно, работа равна:

Скалярное произведение двух векторов и Δ можно выразить через произведения проекций этих векторов. Покажем это для движения на плоскости.

Рис. 6.3

Рисунок 6.3, а иллюстрирует случай, когда угол α между векторами и Δ меньше 90°. Работа при этом положительна. Разложим вектор на составляющие r и y, параллельные осям X и Y: = x + y. Тогда работа

Очевидно, что

где Δх и Δу — проекции вектора Δ на соответствующие оси.

Для данного случая |x| = Fx и |y| = Fy, так как проекции силы на оси Х и Y положительны. Поэтому

Этот результат остается справедливым и в том случае, когда сила составляет с перемещением тупой угол и работа отрицательна (рис. 6.3, б). Теперь

Но в данном случае |x| = -Fx и |y| = -Fy.

Поэтому получаем для работы то же выражение (6.2.7).

В трехмерном случае эта формула имеет вид:

Зависимость работы от системы отсчета

Если тело, к которому приложена сила, не перемещается в пространстве относительно данной системы отсчета, то работа силы равна нулю. Так, при скольжении тела по поверхности стола сила трения 1 приложенная к телу, совершает работу, а сила трения 2, приложенная к поверхности стола, никакой работы в системе отсчета, связанной с этой поверхностью, не совершает (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Дело в том, что точки поверхности, к которым приложена сила трения, не перемещаются. Перемещается при скольжении сама сила трения. (Точнее, она перестает действовать на одни неподвижные участки поверхности и начинает действовать на другие.)

Совершенная работа, конечно, зависит от выбора системы отсчета. Ведь тело, неподвижное в одной системе отсчета, будет перемещаться в другой, движущейся относительно первой. Расстояние между телами одинаково во всех системах отсчета, но перемещение не одинаково. Например, если человек стоит в поезде и просто удерживает растянутую пружину, то в системе отсчета, связанной с поездом, рука человека не совершает никакой работы, так как свободный конец пружины не перемещается. Но с точки зрения наблюдателя, в системе отсчета, связанной с Землей, работа будет произведена. При переходе от одной системы отсчета к другой работа может даже изменить знак, так как направление перемещения зависит от выбора системы отсчета. Поэтому, когда мы говорим о работе как об определенной величине, нужно указывать, относительно какой системы отсчета она вычисляется.

Работа в физике и повседневной жизни

Понятие работы в физике отличается от того, что под этим подразумевают в повседневной жизни. Если вы подняли гирю в несколько килограммов и держите ее на весу, то с точки зрения механики вы совершили работу только при подъеме груза. Однако непосредственные ощущения говорят о другом. Держать гирю на весу ненамного легче, чем поднимать ее вверх, хотя механическая работа при этом, по-видимому, не совершается. Почему же одинаковые ощущения возникают в том и другом случае? Это объясняется тем, что мышцы, приводящие в движение руки или ноги (они называются поперечно-полосатыми или скелетными), способны к быстрым сокращениям, но каждое сокращение длится малое время.

Сокращение мышцы вызывается сигналом, поступающим к ней по нервам от головного мозга. Если вы длительное время держите груз на весу, такие сигналы непрерывно друг за другом поступают к мышце. Когда приходит очередной сигнал, мышца сокращается, но тут же сама по себе расслабляется впредь до получения следующего сигнала. В результате груз, который вы держите, испытывает малые колебания вверх и вниз. Рука дрожит, что особенно хорошо заметно, если держать тяжелую гирю достаточно долго. Таким образом, скелетные мышцы не способны удерживать груз в строго определенном положении. При периодическом поднятии груза на малые расстояния работа будет совершаться. Поэтому рука устает не только когда вы поднимаете груз, но и когда держите его на весу.

Кроме поперечно-полосатых мышц существуют так называемые гладкие мышцы. Ими снабжены, например, моллюски. Створки раковин закрываются такими мышцами. Гладкие мышцы после сокращения «замирают» и в дальнейшем никакой работы не совершают. Однако эти мышцы сокращаются очень медленно по сравнению с поперечно-полосатыми. Почему природа не создала быстродействующие гладкие мышцы, до сих пор не ясно.

Работа переменной силы на произвольном участке пути

В общем случае для вычисления работы переменной силы на произвольном участке пути нужно поступать следующим образом. Участок пути нужно разбить на очень малые участки Δri такие, что силу Fi на каждом отрезке перемещения можно считать постоянной по модулю и направлению (рис. 6.5). Тогда элементарная работа на малом участке равна

Рис. 6.5

Полная работа на конечном участке пути ВС будет равна:

Здесь символ Г означает суммирование произведений Fi • Δri, а N — число малых участков, на которые разбит весь участок пути.

Графическое представление работы

Дадим наглядное графическое представление работы для случая, когда тело движется прямолинейно вдоль оси X (рис. 6.6). Для этого изобразим график зависимости проекции силы от координаты тела. Если сила постоянна, то график будет представлять собой прямую, параллельную оси X (см. рис. 6.6). Работа

Рис. 6.6

Очевидно, что площадь прямоугольника, заштрихованного на рисунке, численно равна работе при перемещении тела из точки с координатой х1 в точку с координатой х2.

Если при движении по прямой сила меняется от точки к точке траектории, то зависимость проекции Fx от положения тела на прямой изобразится некоторой кривой bc (рис. 6.7). Площадь, ограниченная этой кривой, осью X и отрезками аb и cd, равными проекциям сил в начальной и конечной точках пути, численно равна работе при перемещении тела из точки b в точку с. В самом деле, работа на малом участке пути Δxi численно равна площади прямоугольника 1234, так как ΔА = FxiΔxi (Fxi — значение проекции силы на этом участке). Полную же площадь фигуры можно рассматривать как сумму площадей таких элементарных прямоугольников. Согласно формуле (6.2.11) ойа равна искомой работе.

Рис. 6.7

Единицы работы

Единицы работы можно установить с помощью основной формулы (6.2.1), определяющей работу. Если при перемещении тела на единицу длины на него действует сила, модуль которой равен единице, а направление совпадает с направлением перемещения (а = 0), то и работа равна единице. В международной системе единиц (СИ) при F = 1 Н, |Δ| = 1 м и α = 0° совершается работа

А = 1Н • 1м = 1Н • м,

которая и принимается за единицу работы. Она называется джоулем (сокращенно: Дж).

Итак, джоуль — это работа, совершаемая силой 1 Н на перемещении 1 м, если направления силы и перемещения совпадают.

Часто используют кратную единицу работы килоджоуль:

1 кДж = 1000 Дж.

В системе СГС за единицу работы принимают эрг:

1 эрг = 1 дин • 1см.

Нетрудно установить соотношение между джоулем и эргом:

1 Дж = 1Н • 1 м = 105 дин • 100 см = 107 эрг.

Иногда применяется внесистемная единица работы килограмм-сила-метр:

1 кгс • м = 1 кгс • 1 м = 9,8 Н • 1 м = 9,8 Дж.

Приведено определение работы силы при перемещении тела на Δ, составляющем угол α с направлением силы: А = -FlΔlcos а.

 

 

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru