Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

Введение

I. О геометрии

Своеобразие геометрии заключается в неразрывной связи живого воображения со строгой логикой. Можно сказать, что геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, определение, теорема или задача, непременно присутствуют оба эти элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, а строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так её и надо изучать: соединяя наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило состоит в том, что, встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего понять их содержание: представить наглядно, зарисовать или ещё лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чём идёт речь. Ничего не старайтесь заучить, не нарисовав, не вообразив того, о чём написано в учебнике, не поняв, как это наглядное представление точно выражается в формулировке определения, теоремы или задачи.

Геометрия возникла из практических задач, её предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счёте в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется везде, где нужна малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и рабочему, и архитектору, и модельеру необходимо геометрическое воображение.

Установлено, что каждое десятое изобретение сделано с применением геометрии, за счёт выбора подходящей формы, удачного размещения и т. п. А ведь изобретений миллионы.

Математика, геометрия в частности, представляет собой могущественный инструмент познания природы и создания техники.

II. О пространственных фигурах

Раньше вы изучали главным образом геометрию на плоскости — планиметрию, а теперь будете заниматься геометрией в пространстве. Её называют стереометрией (от греческих слов «стереос» — пространственный, «метрео» — измеряю). Обращаясь к геометрии в пространстве — к стереометрии, мы предполагаем, что геометрия на плоскости — планиметрия — вам в основном известна.

Каждый представляет, что такое плоскость или по крайней мере конечный кусок плоскости, как поверхность стола, доски и т. п. В планиметрии плоскость рассматривается сама по себе независимо от окружающего пространства. В стереометрии же плоскость — это фигура в пространстве, в котором много плоскостей. На каждой из них выполняются все положения планиметрии.

Вместе с каждой плоскостью в пространстве есть содержащиеся в ней известные вам фигуры — точки, отрезки, треугольники, окружности и т. д. Основными свойствами этих фигур, теоремами о них, доказанными в планиметрии, мы будем пользоваться.

Однако важнейшими в стереометрии являются пространственные фигуры, тела, не лежащие ни в какой плоскости. Простейшие знакомые вам тела изображены на рисунке 1: а) шар; б) куб; в) параллелепипед; г) пирамида; д) призма; е) цилиндр; ж) конус. Определения шара, призмы, цилиндра и конуса мы дадим позже, а сейчас напомним, что куб — это многогранник, у которого шесть граней, и все они квадраты. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и все они прямоугольники. А вообще параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, и все они параллелограммы.

Рис. 1

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — какой-либо многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Первая грань называется основанием пирамиды, остальные же называются боковыми гранями; их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются её рёбрами, причём рёбра, сходящиеся в вершине, называются боковыми. Если основание пирамиды — n-угольник, то пирамида называется n-угольной.

Простейшей среди всех пирамид (и даже среди всех многогранников) является треугольная пирамида, которую называют также тетраэдром, т. е. четырёхгранником (рис. 2). У тетраэдра четыре грани, и все они треугольники.

Рис. 2

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а все боковые рёбра равны (рис. 3). Знаменитые египетские пирамиды — правильные четырёхугольные.

Рис. 2

III. О теоретической части курса

Весь курс разбит на шесть глав (по три на каждый класс). Глава I вводная, а центральной и основной в курсе 10 класса является глава II, где изучается перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей, а также расстояния и углы. (Эту главу можно назвать «строительной геометрией», поскольку изучаемые в ней вопросы играют главную роль в строительстве. Завершает курс 10 класса глава III, в которой рассказано о важнейших пространственных фигурах — сфере и шаре, цилиндрах и конусах. Последний параграф этой главы (§ 20) посвящён геометрии окружности.

Курс 11 класса начинается главой IV о многогранниках и симметрии фигур. В главе V речь идёт об измерении объёмов тел и площадей их поверхностей.

В последней же — главе VI — о координатах и векторах рассматриваются такие методы геометрии, которые возникли значительно позднее. Завершает книгу рассказ о современной геометрии.

Главы разбиты на параграфы (у них единая нумерация), а параграфы — на пункты (у пунктов двойная нумерация: например, п.17.3 — это третий пункт из § 17).

Теоретический материал учебника разбит на две части — основную и дополнительную.

Основная часть, во-первых, содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы), которые надо твёрдо усвоить и уметь применять при решении задач. Во-вторых, к основной части относится материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии. С этим материалом следует ознакомиться. Он поможет вам понять роль геометрии и её место в современной культуре.

В каждом параграфе после теоретической части предложены вопросы для самоконтроля. Очень важно самому подготовить ответы на них — тогда на уроке вы будете чувствовать себя уверенней.

IV. О задачах

После вопросов для самоконтроля в каждом параграфе (кроме чисто теоретического § 25) идут задачи к этому параграфу. У задач к параграфу двойная нумерация: сначала указан номер параграфа, а затем номер задачи в этом параграфе. Например, задача 20.15 — это пятнадцатая задача к § 20.

Задачи к параграфу обычно начинаются с небольшого числа задач, дополняющих теорию этого параграфа. Они отделены от других задач к параграфу. На такие задачи возможны в дальнейшем ссылки наравне с теоретическим текстом.

О том, что надо сделать, решая задачу, в большинстве условий задач сказано в утвердительной форме: Нарисуйте, Вычислите, Докажите, Постройте, Найдите границы и т. п.

Но условия многих задач содержат и вопросы. Есть задачи, где ставятся такие вопросы: «Как вычислить...?», «Как найти..Л», «Как построить...*!» и т. п. В этих задачах главное — составить план решения, может быть, даже алгоритм решения. После этого можно получить ответ в виде формулы, введя необходимые величины.

Ещё одна группа задач содержит вопросы другого типа: «Есть ли..?», «Можно ли...?», «Может ли быть...?», «Верно ли...?», «Какой по форме...?», «Какого вида...?» и т.п. Это задачи исследовательского характера. В условиях таких задач возможна некая неопределённость, незавершённость, даже неоднозначность. Возможно и отсутствие решения этих задач, что вы должны выяснить.

В условиях некоторых задач речь идёт о реальных бытовых ситуациях: например, в задаче 11.4 о часовых стрелках или в задаче 27.33 об арбузах. При решении таких задач прикладной геометрии их условие ещё надо перевести на математический язык.

Кроме задач к параграфам, в которых проверяется усвоение содержания именно этого параграфа, есть ещё задачи к главам. Эти задачи труднее задач к параграфам, они многоплановы и имеют итоговый характер.

В задачах к главам I, II, VI имеется рубрика «Применяем компьютер». Решая задачи этой рубрики, используйте, например, среду «Живая математика», которую можно найти по адресу: http:www.uchportal.ru/load/24-l-0-2276.

Рис. 4

Из всех многогранников в задачах чаще всего рассматриваются пирамиды — треугольные (тетраэдры) и четырёхугольные. Для удобства мы обозначаем их соответственно РАВС и PABCD, считая, что основанием пирамиды является треугольник ABC или четырёхугольник ABCD, а вершиной — точка Р.

В основании правильной треугольной пирамиды РАВС лежит равносторонний (правильный) треугольник ABC, а боковые рёбра её равны: РА = РВ = PC (рис. 4, а).

Может оказаться, что у правильной треугольной пирамиды РАВС боковые рёбра равны сторонам основания, т. е. в таком тетраэдре все рёбра равны. Тетраэдр, у которого все рёбра равны, называется правильным тетраэдром; все его грани — правильные треугольники (рис. 4, б). А у правильной треугольной пирамиды заведомо лишь одна грань — основание — правильный треугольник. Боковые же её грани — равнобедренные треугольники.

Отметим ещё, что в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат ABCD.

V. О рисунках

Отличие рисунков, используемых в стереометрии (например, рисунков 1—3), от тех, какими иллюстрируется курс планиметрии, состоит в том, что на плоскости рисунка (в книге, в тетради, на доске) изображены не только плоские, но и пространственные фигуры. Основные правила и приёмы таких изображений будут обоснованы в курсе стереометрии. Перечислим сейчас самые простые из них.

Плоскость изображается в виде параллелограмма (рис. 5, а), а иногда в виде произвольной области (рис. 5, б).
Параллельные отрезки (как и прямые) изображаются параллельными отрезками (как при изображении куба или призмы на рисунке 1, б, в, д).
Середина отрезка изображается как середина его изображения, которое тоже является отрезком.

Рис. 5

Очень важно уметь правильно, наглядно изображать пространственные фигуры и, наоборот, посмотрев на рисунок, представить себе форму пространственной фигуры, изображённой на нём. Это трудно, но этому можно научиться.