9.1. Докажите, что высота правильной пирамиды проходит через центр её основания.
9.2. Докажите, что точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника, лежит на прямой, проведённой через центр описанной около него окружности и перпендикулярной его плоскости. Докажите обратное утверждение.
Задачи к п. 9.1
9.3. Вычислите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой:
а) каждое ребро равно 1;
б) боковое ребро равно 3, а ребро основания равно 2;
в) боковое ребро равно 1, а угол при вершине в боковой грани равен 90°;
г) боковое ребро равно 1, а угол при вершине в боковой грани равен φ ;
д) ребро основания равно 2, а угол в боковой грани при этом ребре равен φ .
9.4. Пусть высота правильной треугольной пирамиды равна 1. Вычислите:
а) боковое ребро, если сторона основания равна 2;
б) сторону основания, если боковое ребро равно 2;
в) её рёбра, если высота составляет с боковым ребром угол 30°;
г) рёбра, если угол в боковой грани при вершине пирамиды равен φ .
9.5. Вычислите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, у которой:
а) каждое ребро равно 1;
б) боковое ребро равно 2, а ребро основания равно 1;
в) ребро основания равно d, а угол в боковой грани при вершине равен φ .
9.6. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 1. Вычислите:
а) боковое ребро, если сторона основания равна 1;
б) сторону основания, если боковое ребро равно 2;
в) рёбра, если боковое ребро составляет со своей проекцией на основание угол 45°;
г) рёбра, если угол в боковой грани при вершине равен φ .
9.7. Точки Р и Q равноудалены от вершин треугольника ABC. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна плоскости ABC.
9.8. Докажите, что диагональ куба перпендикулярна плоскости, проходящей через концы рёбер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ.
9.10. Все рёбра четырёхугольной пирамиды PABCD равны. Нарисуйте её сечение плоскостью, проходящей через:
а) точку Р и перпендикулярной АВ\
б) точку С и перпендикулярной PD;
в) точку О — центр основания — и перпендикулярной РС\
г) точку А и перпендикулярной PC.
9.11. Через ребро АС правильной треугольной пирамиды РАВС проводится плоскость, перпендикулярная РВ. Каким может быть сечение пирамиды такой плоскостью? Докажите, что площадь такого сечения — наименьшая среди площадей всех сечений АХС, где точка X — точка ребра РВ.
