Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

Задачи к § 13

• 13.1. Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины, высоты).
• 13.2. Треугольник ABC правильный со стороной, равной 1. Точка О — его центр, точка X — переменная точка прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку О. Пусть d₁ = | X (ABC) |, d₂ = | XA |, d₃ = | X (АВ) |. Установите зависимости между этими величинами. Получите также аналогичные зависимости для правильного n-угольника.

• 13.3. Лучи ОА и ОВ лежат в плоскости α. Луч ОС образует с ними равные углы. Какое положение на плоскости α занимает проекция луча ОС на эту плоскость? Рассмотрите три возможных случая:
  • а) данные углы острые;
  • б) данные углы прямые;
  • в) данные углы тупые.

  Проверьте обратные утверждения.

Задачи к п. 13.1

• 13.4. В тетраэдре РАВС углы во всех гранях при вершине В прямые. Нарисуйте проекцию:
  • а) РА на (ABC);
  • б) PC на (АВС);
  • в) ΔРАС на (АВС);
  • г) АС на (РАВ);
  • д) PC на (РАВ);
  • е) ΔРАС на (РАВ);
  • ж) ΔРАС на (РВС);
  • з) ΔРАВ на (РВС);
  • и) ΔАВС на (РАВ).
• 13.5. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед ABCDA^B:C^DV Нарисуйте проекцию на плоскость каждой его грани:
  • а) АА₁;
  • б) CD₁;
  • в) B₁D;
  • г) сечения BB₁D₁D;
  • д) ΔAB₁D₁;
  • е) ΔВА₁С₁.
• 13.6. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС.
  1. Нарисуйте проекцию:
     • а) РА на (АВС);
     • б) РА на (РВС);
     • в) АС на (РАВ0;
     • г) ΔРАС на (ABC).
  2. Пусть точка X движется по ребру РВ от Р к В. Как будет изменяться площадь проекции треугольника АХС на (ABC)?
• 13.7. Пусть PABCD— правильная четырёхугольная пирамида. Нарисуйте проекцию:
  • а) РА на (ABC)',
  • б) РА на (PBD)\
  • в) AD на (РАС)',
  • г) ΔРВС на (ABC)',
  • д) ΔРАВ на (PBD);
  • e) ΔPBD на (РАС).
• 13.8. Пусть треугольник ABC равнобедренный и его основание АС лежит в плоскости α. Пусть треугольник АВ₁С— проекция треугольника ABC на α, a BD — высота треугольника ABC.
  • а) Докажите, что B₁D — высота треугольника АВ₁С.
  • б) Пусть BD : B₁D = 2 : 1. Чему равно отношение площадей треугольников ABC и АВ₁С?
  • в) Пусть отношение площадей треугольников ABC и АВ₁С равно k. Чему равно отношение этих высот?
  • г) Пусть площадь треугольника ABC равна S. В каких границах лежит площадь треугольника АВ₁С?
• 13.9. Прямая а перпендикулярна плоскости α. Нарисуйте проекцию α на плоскость, проходящую через а.
• 13.10.
  • а) Плоскости α и β перпендикулярны. Нарисуйте проекцию α и β на плоскость γ, перпендикулярную и к α, и к β.
  • б) Плоскости α и β пересекаются. Нарисуйте их проекцию на плоскость γ, перпендикулярную и к α, и к β.
• 13.11. На рисунке 120 изображены проекции некоторой фигуры на три взаимно перпендикулярные плоскости. Нарисуйте эту фигуру.

Рис. 120

Задачи к п. 13.2

• 13.12.
  • а) Пусть известны диагональ прямоугольного параллелепипеда и два его измерения. Как вычислить его третье измерение?
  • б) Пусть диагональ куба равна d. Чему равняется его ребро?
• 13.13. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой р. Из точки A ∈ α опущен перпендикуляр АА₁ на прямую р. Из точки В ∈ β опущен перпендикуляр ВВ₁ на прямую р. Докажите, что АВ² = АА²₁+А₁В²₁ + В₁В².
• 13.14. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2. Вычислите расстояние:
  • а) А₁К₁ где точка К— середина ребра CD;
  • б) KL, где точка L — середина ребра С₁В₁;
  • в) LM, где точка М — центр грани ВВ₁А₁А.
• 13.15. 0т верхнего конца столба тянут провод к стене дома. Какие данные нужны, чтобы вычислить длину провода?
• 13.16. В пирамиде PABCD основание ABCD — квадрат. Ребро РВ перпендикулярно плоскости основания. Объясните, почему (DA) ⊥ (АР) и (DC) ⊥ (СР). Какая из этих «перпендикулярностей» останется, если ABCD будет прямоугольником; ромбом?
• 13.17. Из точки О плоскости α проведён отрезок QP ⊥ α . Отрезок АВ лежит в плоскости α , и точка К — его середина. Объясните, почему АВ ⊥ РК, если точка О:
  • а) вершина равнобедренного треугольника ОАВ;
  • б) центр равностороннего треугольника ABC;
  • в) центр окружности, на которой лежат точки А и В.
• 13.18. Нарисуйте плоскость α и в ней отрезок АВ. Проведите через точку А прямую а ⊥ АВ, лежащую в плоскости α, а через точку В прямую b ⊥ α.
  • а) Точку А соедините отрезком с любой точкой X прямой b. Докажите, что АХ ⊥ а.
  • б) На прямой b возьмите точку С и нарисуйте перпендикуляр из точки С на а.
  • в) Нарисуйте прямую, проходящую через А перпендикулярно а, но не перпендикулярную плоскости α. Будет ли она пересекать прямую b?
• 13.19. Нарисуйте две пересекающиеся плоскости α и β. Пусть р — прямая их пересечения. Нарисуйте точку О, не лежащую в этих плоскостях, и перпендикуляры ОА и ОВ из точки О на плоскости α и β.
  • а) Нарисуйте перпендикуляр ОС из точки О на прямую р. Докажите, что (АВ) и (ОС) лежат в одной плоскости,
  • б) Нарисуйте перпендикуляры из точек А и В на прямую р. Совпали ли их основания на прямой р? Должны ли совпадать?
• 13.20. Дан прямоугольный треугольник ABC.
  • а) Пусть точка К — середина гипотенузы АВ, отрезок KL перпендикулярен (ABC). Нарисуйте перпендикуляры из точки К на (АС) и (ВС). Как вычислить их длины, если известны стороны треугольника ABC и KL? В каком случае они равны?
  • б) Пусть | АС | = | ВС | = | KL | = 1, точка К находится на гипотенузе АВ и АК=х. Чему равны перпендикуляры из L на АС и ВС? В каких границах находятся их длины?
• 13.21. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точка К движется по диагонали А₁С куба от А₁ к С. Пусть А₁К = х. Выразите через х расстояния от К до:
  • а) вершин куба;
  • б) рёбер куба;
  • в) граней куба.
  13.22.
  • а) Боковые грани треугольной пирамиды РАВС равнона-клонены к плоскости её основания ABC. Верно ли, что вершина Р пирамиды проектируется на плоскость её основания в центр окружности, вписанной в треугольник ABC?
  • б) Обобщите результат пункта «а» на n-угольные пирамиды, у которых боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.
• 13.23. Исследуем Основание четырёхугольной пирамиды PABCD — ромб ABCD, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания,
  • а) Верно ли, что вершина Р проектируется на плоскость основания в точку пересечения диагоналей основания?
  • б) Найдите высоту и боковые рёбра пирамиды, если ромб ABCD имеет сторону 2, угол 60°, а боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
• 13.24. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Докажите, что основание пирамиды — ромб.
• 13.25. Докажите, что боковые грани правильной пирамиды равнонаклонены к плоскости её основания.
• 13.26. В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Докажите, что пирамида правильная.

Задачи к п. 13.3

• 13.27. В каких границах находится |Bα|, если:
  • а) | Aα | = 2, а точка В такова, что | АВ | = 1;
  • б) | Аα | = 1, а | AБ | = 2?
• 13.28. Пусть известны |Aα|, | Вα | и угол между прямой АВ и её проекцией на плоскость α. Как найти | АВ |? А как найти длину проекции отрезка АВ на α?
• 13.29.
  • а) Пусть АВ — наклонная к плоскости α, А ∈ α, | Ba | = d. Чему равно расстояние от середины АВ до α?
  • б) Пусть | Аα | = d₁, | Bα |= d₂, точка С — середина АВ. Чему равно | Сα |?
  • в) Точка С — середина АВ, | Aα | = d₁, | Сα | = d₂. Чему равно | Вα | ? (Точки А и В могут лежать с одной стороны от α и с разных сторон от неё. Рассмотрите оба случая.)
• 13.30. Дан куб ABСDA₁B₁С₁D₁ с ребром 1, точка К - середина ребра C₁D₁, точка F - центр грани ВВ₁С₁С. Вычислите расстояние:
  • а) |A₁(CDD₁)|;
  • б) |A₁(BB₁D₁)|;
  • в) |A₁(AD₁C₁)|;
  • г) | К(А₁В₁В)|;
  • д) |К(АА₁С₁)|;
  • е) | К(А₁В₁С)|;
  • ж) | F(AA₁D₁)|;
  • з) | F (ABB₁)|;
  • и) | Р(BB₁D₁)|;
  • к) | F(ACC₁)|.
• 13.31. Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 2. Точка К лежит на ребре РВ, и | PK | = x. Выразите через х расстояния:
  • а) | КС |;
  • б) |К(ВС)|;
  • в) | К (АС) |;
  • г) | К (ABC) |;
  • д) | К (АРС) |.

  В каких границах лежат эти расстояния? Могут ли быть равны расстояния от К до (ВС) и до (АС)? от К до (ABC) и до (АРС)?

Задачи к п. 13.4

• 13.32. Сторона основания правильной четырёхугольной (треугольной) пирамиды равна а, а её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α.
  • а) Найдите площадь её боковой грани,
  • б) Сформулируйте и решите аналогичную задачу для правильной n-угольной пирамиды.
• 13.33. Площадь боковой грани правильной четырёхугольной (треугольной) пирамиды равна S, а её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α.
  • а) Найдите площадь основания пирамиды и его сторону.
  • б) Сформулируйте и решите аналогичную задачу для правильной n-угольной пирамиды.
• 13.34. Рёбра РА, РВ и PC тетраэдра РАВС попарно взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр назовём ортогональным. Треугольник ABC считаем основанием ортогонального тетраэдра. Пусть РА = а, РВ = Ь, РС = с.
  • а) Найдите тангенсы углов наклона боковых граней ортогонального тетраэдра к плоскости его основания.
  • б) Докажите, что S² (ABC) = S² (РАВ) + S² (РВС) + S² (РАС), где S — площадь.