Геометрия
10-11 классы

       

§ 23. Многогранники

23.1 Тела и их поверхности

Основной предмет геометрии в пространстве составляют геометрические тела, или, как говорят короче, тела, а также их поверхности. Изучая частные виды геометрических тел — пирамиду и призму, цилиндр и конус вращения, шар, мы до сих пор не дали общего определения тела. В этом пока не было необходимости, так как каждому из конкретных геометрических тел мы давали своё определение, чаще всего конструктивное, т. е. указывающее, как построить это тело (например, для пирамид и призм).

Сейчас мы определим, что в геометрии называют телом. Этим мы, во-первых, подытожим те наглядные представления о телах, которыми вы уже владеете. Во-вторых, понятие геометрического тела используется при определении многогранника и при изучении объёмов тел (в следующей главе).

Понятие о геометрическом теле даёт любое реальное физическое тело, и можно сказать, что геометрическое тело — это часть пространства, занимаемая физическим телом (рис. 198, а).

Рис. 198

Каждое тело мы представляем себе имеющим внутренние точки, отделённые от остального пространства поверхностью, или, как ещё говорят, границей тела. Так, внутренность шара отделена от остального пространства сферой, а внутренности цилиндра и конуса вращения — их (полными) поверхностями.

Граница (или поверхность) тела — это множество его граничных точек. При этом точка называется граничной для данной фигуры, если сколь угодно близко от неё есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей (например, точка А на фигуре F граничная, рис. 198, б).

Точка фигуры, не лежащая на её границе, называется внутренней точкой фигуры. Множество внутренних точек фигуры называется её внутренностью. Предполагается, что внутренность тела не распадается на отдельные куски, т. е. требуется, чтобы любую внутреннюю точку тела можно было соединить внутри тела с любой другой его внутренней точкой ломаной линией или отрезком. Поэтому фигура, состоящая из объединения двух шаров, не имеющих общих точек, телом не считается. Точно так же фигура, состоящая из двух кубов, имеющих только одну общую точку (рис. 198, в), также телом не считается.

Наконец, каждое тело содержит всю свою границу, или, другими словами, поверхность. Шар без своей сферы или даже шар без одной её точки уже не тело. При этом поверхность тела сплошь прилегает к внутренности тела и не имеет никаких «отростков». Поэтому, например, конус со шпилем или конус с полями, как у шляпы, телом не считается (рис. 199).

Рис. 199

Кроме того, полагают, что тело ограничено, т. е. умещается в некотором шаре. Суммируя всё сказанное, приходим к следующему. Тело — это ограниченная фигура в пространстве, обладающая такими свойствами:

  1. у неё есть внутренние точки, причём любые две из них можно соединить ломаной или отрезком внутри фигуры;
  2. фигура содержит свою границу, причём её граница сплошь прилегает к её внутренности.

23.2 Определение многогранника. Элементы многогранника

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Простейшие виды многогранников — призмы и пирамиды, но вообще многогранники могут иметь разнообразное и очень сложное строение. Примерами реальных тел, имеющих более или менее точную форму многогранников, могут служить кристаллы (рис. 200, а), строящиеся дома из кирпичей и бетонных блоков (рис. 200, б) или, скажем, стол и табуретка.

Рис. 200

Многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью, если, во-первых, внутренность многогранника прилегает лишь с одной стороны к этому многоугольнику. Во-вторых, он не содержится ни в каком другом многоугольнике, лежащем на поверхности многогранника (иначе он является лишь частью грани). Многоугольники, не удовлетворяющие первому условию, могут лежать на поверхности многогранника (рис. 200, в).

Кроме того, поскольку многогранники могут иметь кольцеобразные и даже более сложно устроенные грани, то мы должны расширить понятие многоугольника. А именно теперь под многоугольником мы понимаем многоугольную фигуру плоскости, любые две внутренние точки которой можно соединить ломаной внутри этой фигуры (рис. 201, а — в). А многоугольной мы называем фигуру, являющуюся объединением конечного числа треугольников.

Рис. 201

Стороны граней многогранника называются рёбрами многогранника, их вершины — вершинами многогранника.

Две грани многогранника, имеющие общее ребро, задают при этом ребре двугранный угол многогранника (рис. 202, а).

Рис. 202

Рёбра многогранника, углы граней при вершинах, величины его двугранных углов — это элементы многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит с одной стороны от плоскости любой своей грани, т. е. плоскость любой его грани является его опорной плоскостью (рис. 202, б).

Простейшими примерами выпуклых многогранников могут служить параллелепипеды, тетраэдры, правильные призмы, правильные пирамиды. Конечно, и призмы, и пирамиды могут и не быть выпуклыми, как, например, на рисунках 69, а и 202, а.

Выпуклые многогранники обладают многими замечательными свойствами. Вот одно из них — теорема Эйлера1: для любого выпуклого многогранника сумма числа его вершин В и числа его граней Г без числа рёбер Р равна двум, т. е.

В + Г - Р = 2.

23.3 Многогранная поверхность и развёртка

Наряду с многогранниками рассматривают также многогранные поверхности — фигуры, составленные из многоугольников, которые прикладываются друг к другу сторонами (рис. 203, а). Это можно сравнить с тем, как ломаная составляется из отрезков: одни отрезки прикладываются к другим концами (рис. 203, б). Но у отрезка только два конца, а сторон у многоугольников много. Поэтому когда многоугольник приложен к другому стороной, то остаётся не одна свободная сторона и возможностей приложить новые многоугольники много.

Рис. 203

К той стороне, где уже приложен многоугольник, прикладывать другие не разрешается, так что многоугольники встречаются по сторонам только попарно. Но могут оставаться и свободные стороны (например, у поверхности куба с вынутой гранью, как коробка без крышки, рис. 204). Если свободных сторон не остаётся, поверхность называется замкнутой (подразумевается, что многоугольников конечное число).

Рис. 204

Можно допускать, что многоугольники могут пересекаться, как могут пересекаться отрезки ломаной. Если этого не допускать, то замкнутая многогранная поверхность ограничивает многогранник. Но у произвольного многогранника граница может состоять из нескольких замкнутых многогранных поверхностей. Такой многогранник получается, когда из внутренности какого-либо многогранника удалены внутренности одного или нескольких многогранников, так что получаются многогранники с полостями внутри.

Нередко многогранные поверхности называют многогранниками (например, в Большой советской энциклопедии многогранники определяются как замкнутые многогранные поверхности). Это делают и в быту, когда склеивают из бумаги или картона кубики, коробки или другие многогранники. Понятно, из бумаги или картона склеивается не куб — тело, а куб — многогранная поверхность. Многогранники — многогранные поверхности — склеивают из развёрток.

Вообще развёрткой многогранника — многогранной поверхности — называется совокупность многоугольников, для которой указано, как их нужно склеивать — прикладывать друг к другу по сторонам. Конечно, склеиваемые стороны должны быть равны и нужно указывать, какой конец одной стороны с каким концом другой стороны должен совпадать.

При составлении — склеивании многогранной поверхности многоугольники, составляющие развёртку, могут «переламываться».

Не исключается, что многоугольник склеивается сам с собой, как в известной крестообразной развёртке куба (рис. 205, здесь же приведены и другие примеры).

Рис. 205

Реальное изготовление многогранников по их развёрткам — дело интересное и не всегда простое. Австралийский учитель математики М. Веннинджер посвятил ему целую книгу под названием «Модели многогранников» (М.: Мир, 1974). В ней приведены способы изготовления наиболее симметричных многогранников, порой весьма причудливых. Попробуйте склеить из развёрток правильные многогранники (они изображены в § 24), а также следующие красивые многогранники:

  1. Кубооктаэдр. Он получится, если у куба «срезать» все его восемь вершин (рис. 206).

Рис. 206

  1. Ромбокубооктаэдр. Он получится, если на правильную восьмиугольную призму с квадратными боковыми гранями поставить две «крышки», склеенные из пяти квадратов и четырёх правильных треугольников (рис. 207).

Рис. 207

    Кубооктаэдр и ромбокубооктаэдр — два из тринадцати архимедовых полуправильных многогранников.

  1. Звёздчатый октаэдр Кеплера. Его можно получить как объединение двух правильных тетраэдров (рис. 208).

Рис. 208

  1. Большой додекаэдр (рис. 209). Его поверхность состоит из двадцати боковых поверхностей правильных треугольных пирамид с боковыми гранями, имеющими углы 36°, 36° и 108°.

Рис. 209

23.4 Многогранные углы

Многогранный угол можно получить, продолжая рёбра и грани, идущие из одной вершины какого-либо многогранника, например из вершины пирамиды (рис. 210).

Рис. 210

Многогранные углы составляются из обычных углов (такие углы мы будем теперь называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно даётся следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполняются условия:

  1. никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны;
  2. у каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только одним другим таким углом;
  3. от каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны;
  4. никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

Плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны — его рёбрами. Элементами многогранного угла являются величины его плоских углов — граней, а также величины двугранных углов при его рёбрах между гранями, прилегающими к этим рёбрам.

Многогранные углы называются равными, если равны друг другу все их соответственные элементы.

Под данное определение многогранного угла подходит и двугранный угол. Он составлен из двух развёрнутых плоских углов. Вершиной такого угла может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопреде-лённости в положении вершины двугранный угол исключается из числа многогранных углов.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников. Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и не выпуклыми (рис. 211).

Рис. 211

Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Ясно, что многогранные углы при вершинах выпуклых многогранников выпуклые. Грани выпуклых многогранных углов выпуклы.

Подобно тому как каждый треугольник является выпуклым многоугольником (рис. 212, а), любой трёхгранный угол с выпуклыми гранями является выпуклым многогранным углом (рис. 212, б).

Рис. 212

Но уже четырёхгранные углы с выпуклыми гранями могут быть и не выпуклыми (рис. 213, а), подобно тому как четырёхугольники могут быть и не выпуклыми (рис. 213, б).

Рис. 213

Выпуклый многогранный угол называется правильным, если равны друг другу все плоские углы его граней и равны друг другу все двугранные углы при его рёбрах.

Очевидно, правильным многогранным углом является угол при вершине правильной пирамиды.

Вопросы для самоконтроля

  1. Что называется многогранником?
  2. Назовите элементы многогранника.
  3. Какие многогранники называют выпуклыми?
  4. В чём состоит теорема Эйлера для выпуклого многогранника?

1 Леонард Эйлер (1707—1783) — великий математик, физик, астроном, швейцарец по рождению, член Петербургской академии наук, работал в России в 1727—1741 и 1766—1783 гг.

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru