Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 23

  • 23.1. Нарисуйте многогранник, у которого сечениями могут быть:
    • а) квадрат, прямоугольник, правильный шестиугольник;
    • б) равносторонний треугольник, квадрат, трапеция;
    • в) ромб, равнобедренный треугольник, прямоугольник;
    • г) объединение двух треугольников без общих точек.

  • 23.2. Вращаясь вокруг одного из рёбер многогранника, плоскость даёт такие сечения:
    • а) равнобедренный треугольник;
    • б) прямоугольник;
    • в) параллелограмм;
    • г) равнобедренную трапецию.
  • 23.3. Нарисуйте такой многогранник. Нарисуйте многогранник:
    • а) все грани которого — треугольники, но не тетраэдр;
    • б) все грани которого — квадраты, но не куб;
    • в) все грани которого — неравные четырёхугольники;
    • г) все грани которого — пятиугольники;
    • д) четыре грани которого — правильные треугольники, а ещё четыре — правильные шестиугольники.
  • 23.4. Нарисуйте разные многогранники, которые могут получиться в пересечении пяти полупространств; шести полупространств.
  • 23.5. На рисунке 214 изображены проекции на три попарно ортогональные плоскости некоторых частей куба. Какими многогранниками являются эти части? Опишите эти многогранники. Сделайте рисунки.

    Рис. 214

  • 23.6. Многогранник М1 называется вписанным в многогранник М2, если каждая вершина М1 лежит на поверхности М2. Нарисуйте тетраэдр РАВС и вписанный в него многогранник M1, такой, что:
    • а) на каждом ребре тетраэдра лежит ровно одна вершина М1;
    • б) на каждой грани тетраэдра лежит ровно одна вершина М1;
    • в) на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины M1.

    Решите аналогичные задачи для куба. Кроме того, нарисуйте разные многогранники, вписанные в куб, вершины которых находятся в вершинах куба.

  • 23.7. Нарисуйте разные развёртки правильного тетраэдра. При получении многогранника из развёртки некоторые стороны развёртки склеиваются, в результате чего получается шов. Из некоторых соображений целесообразно общую длину швов уменьшить. Выберите из нарисованных развёрток ту, у которой общая длина швов наименьшая.
  • 23.8. Нарисуйте многогранник, развёртка которого имеет такой вид, как на рисунке 215.

    Рис. 215

  • 23.9. Приведите пример многогранника, около которого:
    • а) можно описать сферу;
    • б) нельзя описать сферу.

  • 23.10. Приведите пример многогранника, в который:
    • а) можно вписать сферу;
    • б) нельзя вписать сферу.
  • 23.11. Является ли многоугольником пересечение двух любых многоугольников? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
  • 23.12. Многоугольник разделили прямой на две части. Будут ли полученные части многоугольниками? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
  • 23.13. Трёхгранные углы с выпуклыми гранями являются стереометрическими аналогами плоских треугольников,
    • а) Сформулируйте и докажите теоремы о равенстве трёхгранных углов,
    • б) Что является для трёхгранных углов аналогами биссектрис, медиан и высот треугольников?

    Сформулируйте и докажите для трёхгранных углов теоремы, аналогичные теоремам о замечательных точках треугольников.

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru