Геометрия
10-11 классы

       

§ 27. Объёмы некоторых тел

27.1 Объём цилиндра

В § 26 мы вывели формулу для объёма прямого цилиндра. Она верна и для наклонного цилиндра.

А именно имеет место следующая теорема:

Теорема 30. Объём цилиндра, в частности призмы, равен произведению площади основания и высоты:

V = SH.

Доказательство. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскости его основания, равны (п. 18.1). Поэтому все их площади S (х) равны площади S основания цилиндра. Следовательно, уравнение (1) , выведенное в теореме 29 об объёме тела, для цилиндра имеет вид F'(x) = S. Функция V (х), производная которой постоянна и равна S, является линейной функцией и имеет вид: V(x) = Sx + b.

Воспользуемся тем, что V(0) = 0. Получим 0 = S • 0 + b, т. е. b = 0.

Итак, V (x) = Sx, а объём цилиндра

V = V(H) = SH.

27.2 Объём конуса

Теорема 31, Объём конуса, в частности пирамиды, равен одной трети произведения площади основания и высоты:

V = 1/3 SH.

Доказательство. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию (п. 19.1). Если плоскость проходит на расстоянии х от вершины, то коэффициент подобия равен (рис. 244).

Рис. 244

Поэтому площадь сечения S (x) такой плоскостью равна

где S — площадь основания конуса. Его можно записать так:

Так как S и Н — постоянные для данного конуса, то уравнение, выведенное в теореме 29 для объёма конуса, имеет вид:

Функция V (х), производная которой равна ах2, имеет вид:

Воспользуемся тем, что F(0) = 0. Получим

Поэтому

а объём конуса

27.3 Объём шара

Теорема 32. Объём шара радиуса R выражается формулой

V = 4/3 πR3.

Доказательство. Для вывода формулы удобно взять полушар — часть шара, ограниченную плоскостью α, проходящей через центр шара.

Плоскость γ, параллельная плоскости α и проходящая от неё на расстоянии х, пересекает шар по кругу радиуса (рис. 245).

Рис. 245

Площадь S (х) этого круга равна π(R2 - х2). Объём части полушара между плоскостями α и γ обозначим через U (x). Для полушара расстояние Н, между опорными плоскостями, о котором говорится в теореме 29, равно R. Согласно этой теореме, U'(х) = π(R2 - х2). Функция U (х), которая удовлетворяет этому уравнению, имеет вид:

Как и в предыдущих двух случаях, взяв х = 0, получаем, что b = 0. Поэтому объём полушара

Поскольку объём V шара в два раза больше объёма полушара, то

27.4 Изменение объёма при подобии

Формулы для объёмов, выведенные в этом параграфе, показывают, что при подобных преобразованиях объёмы тел умножаются на куб коэффициента подобия.

Действительно, при подобных преобразованиях линейные размеры фигур умножаются на коэффициент подобия, а площади фигур умножаются на квадрат коэффициента подобия. Поэтому их произведения, которые присутствуют в формулах объёмов цилиндров и конусов, умножатся на куб коэффициента подобия. Объём же шара изменяется так же, как куб его радиуса, т. е. умножается на куб коэффициента подобия.

Вопросы для самоконтроля

  1. По какой формуле вычисляется объём:
    • а) любого цилиндра;
    • б) наклонной призмы;
    • в) конуса;
    • г) пирамиды;
    • д) шара?
  2. Почему при выводе формул объёма любого цилиндра, конуса, шара возможно применять первообразную?
  3. Откуда следует, что объём шара в два раза больше объёма полушара?

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru