3.1. Прямая а лежит в плоскости а, прямая b параллельна прямой а и имеет общую точку с а. Докажите, что прямая b лежит в плоскости а.
3.2. Докажите, что две параллельные прямые лежат в единственной плоскости.
3.3. Докажите такие свойства параллелепипеда:
а) для каждого его ребра есть три ему параллельных;
б) каждое его сечение, проходящее через два параллельных ребра, является параллелограммом;
в) для каждой диагонали его грани найдётся ей параллельная и равная диагональ в другой грани;
г) все его диагонали имеют общую точку и этой точкой делятся пополам.
3.4. В правильном тетраэдре РАВС отметьте точку К на ребре РВ. Нарисуйте отрезок в этом тетраэдре, проходящий через точку К и параллельный:
а) АВ;
б) ВС;
в) РА;
г) PC;
д) BB1 где В1 — середина AC;
е) PQ, где О — центр основания ABC.
Какой из этих отрезков самый длинный? самый короткий?
3.5. На рисунке 41 укажите скрещивающиеся прямые, проходящие через:
а) рёбра куба;
б) диагонали граней и диагональ куба.
Рис. 41
3.6. Нарисуйте тетраэдр РАВС. Точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС, точка N — середина ребра PC, точка О — середина ребра РВ, точка Т — середина ребра АС. Установите взаимное расположение следующих прямых:
a) KL и МО;
б) KN и LO;
в) АО и KL;
г) КМ и СО;
д) МО и PC;
е) KL и MN;
ж) КМ и ТО.
3.7. Исследуем Известно, что в тетраэдре РАВС точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра РВ, точка М — середина ребра ВС, точка N — середина ребра АС.
а) Докажите, что KN || LM.
б) Установите вид четырёхугольника KLMN.
в) Докажите, что отрезки КМ и LN пересекаются в их общей середине,
г) Какой вид будет иметь четырёхугольник KLMN, если РАВС — правильная треугольная пирамида? правильный тетраэдр?
