Геометрия
10-11 классы

       

§ 5. Существование и единственность. Построения

5.1 Существование и единственность

Вдумаемся в структуру доказанных нами теорем. Каждая из них содержит два разнородных утверждения. Рассмотрим, например, теорему 1: «Через каждые две точки проходит прямая, и притом только одна». В ней содержатся два утверждения: 1) через каждые две точки проходит прямая; 2) такая прямая только одна.

Эти утверждения можно выразить несколько иначе: 1) для любых двух точек существует проходящая через них прямая (хотя бы одна!); 2) для любых двух точек такая прямая единственная, или, другими словами, для любых двух точек существует не более одной проходящей через них прямой.

Первое — это утверждение о существовании прямой, второе — о её единственности. Соответственно такие утверждения называются утверждениями (теоремами или аксиомами) существования и единственности. Разделите теоремы 2—5 на теоремы существования и теоремы единственности.

Хотя существование и единственность часто соединяются, как в теоремах 1—5, они независимы и встречаются по отдельности. Например, в аксиоме 1 о плоскости, проходящей через три точки, говорится лишь о существовании: когда точки лежат на одной прямой, через них проходит много плоскостей. Так и в жизни, если ваш друг говорит, что у него есть книга, то это ещё не значит, что она у него лишь одна.

Вот пример утверждения единственности без существования: в каждом треугольнике имеется не более одного тупого угла. Здесь существования может и не быть. Это можно выразить и так: если в треугольнике есть тупой угол, то он только один.

Вообще в теореме существования утверждается, что объект с нужными свойствами существует; в теореме единственности утверждается, что в случае, когда объект существует, он единственный.

В заключение вернитесь ещё раз к аксиомам и теоремам из предыдущих параграфов и выделите в них утверждения существования и утверждения единственности. Дайте им другие формулировки. Формулировать одно и то же разными способами полезно, потому что это помогает лучше понять смысл сказанного.

5.2 Построения на плоскости. Метод геометрических мест

Вспомним о построениях на плоскости (циркулем и линейкой). Указав, например, как построить окружность, описанную вокруг треугольника, мы тем самым доказываем её существование. Вообще, решая задачу на построение, мы доказываем теорему существования фигуры со свойствами, заданными в условии задачи. Это решение сводится к составлению некоторого алгоритма построения искомой фигуры, т. е. к указанию последовательности выполнения простейших операций, приводящих к необходимому результату. Простейшие операции — это проведение отрезков (прямых), окружностей и нахождение точек их пересечения. Затем (с помощью чертёжных инструментов) выполняется непосредственное построение фигуры на бумаге или на доске.

Важнейший метод построения — метод геометрических мест. Если фигура имеет Характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре, а какие ей не принадлежат, то о такой фигуре говорят, что она является множеством (или геометрическим местом) точек, обладающих данным свойством.

Например, окружность — это множество точек на плоскости, удалённых от данной точки плоскости (центра окружности) на данное расстояние — радиус окружности. А сфера — это множество точек в пространстве, удалённых от данной точки (центра сферы) на данное расстояние — радиус сферы.

Множество (геометрическое место) точек на плоскости, равноудалённых от двух точек А и В, — это серединный перпендикуляр отрезка АВ (рис. 58).

Рис. 58

А биссектриса выпуклого угла — это множество (геометрическое место) точек угла, равноудалённых от сторон угла (рис. 59).

Рис. 59

Когда мы устанавливаем, что некоторая фигура F является геометрическим местом точек, обладающих характерным свойством С, то мы всегда должны доказать два утверждения: 1) если точка X принадлежит фигуре F, то она обладает свойством С; 2) если точка Y обладает свойством С, то она принадлежит фигуре F.

Второе утверждение можно заменить равносильным ему: 2) если точка Y не принадлежит фигуре F, то она не обладает свойством С.

Подчеркнём, что когда говорят о множестве точек, обладающих некоторым свойством, то всегда имеют в виду множество всех точек, обладающих этим свойством. Если точка X принадлежит фигуре F, то пишут X ∈ F.

Термин множество имеет общематематический характер, говорят о множестве чисел, о множестве функций, о множестве фигур и т. п. А понятие геометрическое место точек вы можете встретить лишь в пособиях по геометрии.

Задача о построении центра О окружности, описанной вокруг треугольника ABC, решается методом геометрических мест. Точка О равноудалена от точек А и В. Поэтому она лежит на серединном перпендикуляре F1 отрезка АВ (рис. 60, а). Далее, точка О равноудалена от точек А и С. Поэтому она лежит на серединном перпендикуляре F2 (рис. 60, б). Следовательно, искомая точка О является пересечением прямых F1 и F2.

Рис. 60

Решение этой задачи хорошо иллюстрирует сущность метода геометрических мест. Анализируя условие задачи, мы приходим к выводу, что искомая точка О принадлежит двум геометрическим местам точек — фигурам F1 и F2, т. е. является одной из точек пересечения этих фигур. Если эти фигуры F1 и F2 можно построить циркулем и линейкой, то и точка О может быть построена циркулем и линейкой.

Вспомните, как, используя метод геометрических мест, вы строили центр окружности, вписанной в треугольник.

Проведём анализ решения ещё одной задачи: построить треугольник ABC, если заданы а + Ь, с и угол А.

Допустим, искомый треугольник построен (рис. 61, а). Продолжим его сторону АС на отрезок СК = а и проведём отрезок ВК (рис. 61, б). Треугольник АВК можно построить (по двум сторонам и углу между ними). А точка С равноудалена от точек В и К, т. е. лежит на серединном перпендикуляре отрезка ВК.

Рис. 61

5.3 Методы преобразований

При решении планиметрических задач на построение часто используются геометрические преобразования — движения и подобия. Решим сначала четыре задачи, используя движения на плоскости.

Задача 1. Даны точка А и две окружности γ1 и γ2. Построить отрезок ВС, концы которого лежат соответственно на окружностях γ1 и γ2 и серединой которого является точка А (рис. 62, а).

Задача 2. Даны две окружности γ1 и γ2 и прямая р. Построить равнобедренный треугольник так, чтобы вершины его основания лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая к этому основанию, была равна данному отрезку h и лежала на данной прямой (рис. 62, б).

Задача 3. Даны две окружности γ1 и γ2 и точка А. Построить равнобедренный треугольник с вершинами В и С основания, лежащими на данных окружностях соответственно так, чтобы угол при вершине А был равен данному углу а (рис. 62, в).

Задача 4. Даны две окружности γ1 и γ2 и отрезок AD. Построить параллелограмм ABCD так, чтобы точки В и С лежали соответственно на данных окружностях (рис. 62, г).

Рис. 62

Проводя анализ условий этих задач, замечаем, что они похожи друг на друга: в каждом случае легко указать движение f, которое точку В переводит в точку С. В задаче 1 это симметрия относительно точки А, в задаче 2 это симметрия относительно прямой р, в задаче 3 это поворот вокруг точки А на угол α, а в задаче 4 это перенос на вектор . Но так как положение точки В на окружности γ1 нам неизвестно, то рассматриваем образ окружности при этом преобразовании f (рис. 63, а—г).

Рис. 63

И теперь становится ясно, что во всех четырёх случаях точка С — это точка пересечения окружностей γ2 и f (γ1). А затем уже строится точка В. Построение указано на рисунке 64, а—г.

Рис. 64

Итак, мы решили все четыре задачи: задачу 1 — методом центральной симметрии, задачу 2 — методом осевой симметрии, задачу 3 — методом поворота, задачу 4 — методом параллельного переноса.

Единообразные решения рассмотренных задач подсказывают нам основную идею методов движений: некоторую фигуру G, из данных в условии задачи, подходящим движением f преобразуют в фигуру f (G), а затем рассматривают данные в условии задачи фигуры вместе с фигурой f (G). Такое пополнение условий задачи облегчает её решение (или даже делает его очевидным, как в решённых нами задачах).

Теперь расскажем о методе подобия. Этот метод удобно применять для решения таких задач на построение, в которых условие распадается на две части. Первая из этих частей определяет искомую фигуру с точностью до подобия. Вторая же часть условия задачи позволяет выделить из множества подобных друг другу фигур ту, которая ему удовлетворяет и тем самым является решением задачи. Проиллюстрируем это общее положение.

Задача 5. Построить треугольник по двум углам и периметру р (рис. 65, а).

Рис. 65

Решение. Первая часть условия определяет треугольник с точностью до подобия: все треугольники, два угла которых равны данным, подобны.

Построим один из таких треугольников — треугольник А1В1С1 (рис. 65, б), а затем построим треугольник ABC, подобный построенному, с коэффициентом, равным отношению данного отрезка р к периметру треугольника А1В1С1 (рис. 65, б).

5.4 Построения в пространстве

Итак, в планиметрии решение задачи на построение имеет как бы две стороны: теоретическую — алгоритм построения — и практическую — реализация этого алгоритма, например циркулем и линейкой.

У стереометрической задачи на построение остаётся лишь одна сторона — теоретическая, так как нет инструментов для построения в пространстве, аналогичных циркулю и линейке.

За основные построения в пространстве принимаются те, которые обеспечиваются аксиомами и теоремами о существовании прямых и плоскостей. Это — проведение прямой через две точки, проведение плоскости (аксиома 1 и теоремы § 2), а также построение прямой пересечения любых двух построенных плоскостей (аксиома 2). Кроме того, мы, естественно, считаем, что можно выполнять планиметрические построения в уже построенных плоскостях.

Решить задачу на построение в пространстве — это значит указать последовательность основных построений, в результате которых получается нужная фигура. Обычно явно указываются не все основные построения, а делаются ссылки на уже решённые задачи на построение. Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача. Через данную точку пространства провести (построить) прямую, пересекающую данную прямую и перпендикулярную этой прямой.

Решение. Пусть в пространстве заданы точка А и прямая а.

Возможны два случая.

1. Точка А не лежит на прямой а (рис. 66, а).

Проведём (по теореме 3) через точку А и прямую а плоскость а. По известной теореме планиметрии в плоскости α через точку А можно провести единственную прямую Ь, перпендикулярную прямой а. Итак, мы построили (провели) искомую прямую Ь: b проходит через А, пересекает α, и Ь ⊥ а.

В рассматриваемом случае решение единственно.

Рис. 66

Действительно, прямая, удовлетворяющая условию задачи, лежит в единственной плоскости α, проходящей через точку А и прямую а. А в плоскости через данную точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

2. Точка А лежит на прямой а (рис. 66, б).

Через прямую а проходит бесконечно много плоскостей. В каждой из них через точку А можно провести прямую, перпендикулярную прямой а в точке А. Поэтому в данном случае задача имеет бесконечно много решений (в п. 7.2 будет доказано, что все эти прямые лежат в одной плоскости и заполняют её).

5.5 О построении пирамид и призм

Построить пирамиду (а значит, и решить вопрос о её существовании) можно так.

Строим в какой-нибудь плоскости а какой-либо многоугольник Q — основание пирамиды (рис. 67, а). Берём любую точку Р, не лежащую в плоскости а, и соединяем её отрезками со всеми вершинами многоугольника Q. Эти отрезки будут боковыми рёбрами пирамиды. Вместе со сторонами многоугольника Q они образуют «каркас» из рёбер пирамиды. Построим её боковые грани.

Рис. 67

Пусть АВ — какая-либо сторона многоугольника Q (рис. 67, б). Через три точки Р, А, B, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость (3. Отрезки РА, РВ, АВ лежат в этой плоскости и ограничивают в ней треугольник РАВ. Он и будет боковой гранью пирамиды. Так строим все боковые грани пирамиды. Вместе с основанием Q они ограничат в пространстве пирамиду Т с вершиной Р и основанием Q (рис. 67, в).

Итак, какой бы многоугольник Q и точку Р, не лежащую в его плоскости, ни задать, существует пирамида с основанием Q и вершиной Р.

Напомним, что пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а все её боковые рёбра равны. Поэтому у правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники (рис. 68). Спрашивается: а как построить правильную пирамиду? Где надо взять точку Р в проведённом выше построении пирамиды, чтобы она получилась правильной? А может быть, правильную пирамиду построить нельзя и таких пирамид не существует?

Рис. 68

В главе IV мы укажем, как строить правильные пирамиды.

Перейдём к призмам, n-угольной призмой называется многогранник, две грани которого — основания призмы — равные n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы (рис. 69). Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. Любая боковая грань имеет с каждым основанием по одной общей стороне.

Рис. 69

Параллелепипед — это призма, в основании которой параллелограмм (см. рис. 1, в). Поэтому все грани параллелепипеда играют одинаковую роль и любые две его противоположные грани можно считать основаниями. Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого прямоугольники. Примерами прямоугольных параллелепипедов могут служить всевозможные коробки, а шестиугольных призм — неотточенные карандаши. Форму призм имеют многие столбы и колонны (рис. 70), как, например, на станции «Комсомольская» в Московском метрополитене.

Рис. 70

Призма называется прямой, если все её боковые грани — прямоугольники (рис. 71, а). Прямая призма называется правильной, если её основания — правильные многоугольники (рис. 71, б).

Рис. 71

Призму, например пятиугольную, можно построить так. Возьмём в некоторой плоскости а какой-либо пятиугольник А1А2А3А4А5. Из вершины А1 проведём какой-нибудь отрезок А1В1, не лежащий в плоскости а (рис. 72, а). Через точки А1, А2, В1 проходит единственная плоскость. В ней построим параллелограмм с противоположными сторонами A1B1 и А2В2.

Рис. 72

Далее, аналогично построим параллелограмм со сторонами А2В2 и А3В3 (рис. 72, б) и т. д. Продолжая, дойдём до параллелограмма со стороной А5B5. Отрезок А1В1 уже проведён. Вместе с отрезком А5B5 они составят стороны последней, пятой боковой грани (они параллельны согласно признаку параллельности прямых, доказанному в п. 3.3). Построенные боковые грани А1В1В2А2, А2В2В3А3, . . ., А5В5В1А1 вместе с основаниями — многоугольниками А1А2А3А4А5 и В1В2В3В4В5 — ограничат в пространстве призму.

Однако почему все отрезки В1В2, В2В3, ..., В5В1 будут лежать обязательно в одной плоскости?

Дальше в § 21 мы получим ответ на этот вопрос и докажем, что построение выполняется всегда: все отрезки B1B2, . . ., В5В1 лежат в одной плоскости. Поэтому если практическое построение призмы делается достаточно точно, например ставятся столбы или колонны, то никаких перекосов быть не должно.

5.6 О значении геометрии

Вопросы построения пирамид и призм подводят к общему вопросу о значении идеальных геометрических построений и выводов.

Геометрия имеет громадное практическое значение, появляясь всюду, где нужна хоть малейшая точность в определении формы, размеров и расстояний. Однако каждому человеку понятно, что в природе, в технике нет ни отрезков без всякой ширины, ни бесконечных прямых, ни точек без всяких размеров. Идеальные геометрические фигуры существуют лишь только в нашем мышлении. Так есть ли в них практическая надобность?

Для того чтобы делать точные выводы, точно решать практические задачи, нужны точные правила. А точные общие правила требуют точных общих понятий.

Например, если указано теоретическое построение призмы с данным основанием и боковыми рёбрами, то мы уверены, что практически такое построение всегда возможно (но в каждом случае с разной степенью точности, которая зависит от конкретных условий). Если построение «не совсем получилось», то причина в том, что либо построение не было выполнено достаточно точно, либо на каком-то этапе была допущена ошибка, но проверять теоретическое правило не нужно: оно установлено в общем виде.

В этом состоит значение математической точности вообще. В практике она недостижима, но она обеспечивает общие точные выводы, которые можно применять. Прочная логическая структура теоретических выводов нужна математике, как нужна прочная структура хорошей машине. Математика, можно сказать, и есть такая машина для решения разнообразных задач науки и практики.

Вопросы для самоконтроля

  1. Приведите собственный пример утверждения: а) существования; б) единственности; в) существования и единственности.
  2. Чем отличаются построения на плоскости от построений в пространстве?
  3. Приведите пример задачи на построение в пространстве.
  4. Какие геометрические места точек вам известны?
  5. Какая польза от геометрии, если её объекты реально не существуют?

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru