Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 1. Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника

В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем обсуждать различные их свойства, при этом большое внимание уделим прямоугольным треугольникам, т. е. таким треугольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства прямоугольных треугольников находят практическое применение, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые широко используются в различных устройствах — от велосипедов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано в данной главе.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что

∠A+∠B+∠C= 180°.

Проведём через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому

∠4 = ∠1, ∠5 = ∠3.                 (1)

Рис. 125

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т. е. ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+ ∠2) + ∠3 = 180°, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух других углов не превосходит 90°, и поэтому каждый из них острый. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным (рис. 126, б). Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в изображён прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

Рис. 126

Задачи

223. Найдите угол С треугольника АВС, если:

a) ∠A = 65°, ∠B = 57°; б) ∠A = 24°, ∠B = 130°; в) ∠A = α, ∠B = 2α;
г) ∠A = 60° + α, ∠B = 60° - α.

224. Найдите углы треугольника АВС, если ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4.

225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

226. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.

229. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.

230. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 58°, ∠B = 96°.

231. Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

232. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

235 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

Ответы к задачам

223. а) 58°; б) 26°; в) 180° - 3α; г) 60°.

224. ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.

227. a) 36°, 72° и 72°; б) 45°, 45° и 90°.

228. a) 40°, 40° и 100° или 40°, 70° и 70°; б) 60°, 60° и 60°; в) 100°, 40° и 40°.

229. 105°.

230. 103°.

231. Указание. Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треугольника.

232. Да.

233. Указание. Учесть, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, в два раза больше угла при основании.

234. 57°30', 57°30', 65° или 65°, 65°, 50°.

235. 73°20', 73°20' и 33°20'.