Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема

В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство

1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что ∠C > ∠B.

Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 127,6). Так как AD < AB, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С, и, значит, ∠C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠C > ∠1, ∠1=∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠C > ∠B.

2) Пусть в треугольнике ABC ∠C > ∠B. Докажем, что АВ > АС.

Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае треугольник АВС — равнобедренный, и, значит, ∠C = ∠B. Во втором случае ∠B > ∠C (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: ∠C > ∠B. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Теорема доказана.

Рис. 127

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против неё, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный.

Неравенство треугольника

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ < АС + СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный стороне СВ (рис. 128). В равнобедренном треугольнике BCD ∠1 = ∠2, а в треугольнике ABD ∠ABD> ∠1 и, значит, ∠ABD > ∠2.

Рис. 128

Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ < AD. Но AD = АС + CD = АС + СВ, поэтому АВ < АС + СВ. Теорема доказана.

Следствие

Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА+ АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

Задачи

236. Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС < ВС.

237 Сравните стороны треугольника АВС, если: a) ∠A > ∠B > ∠C; б) ∠A > ∠B = ∠C.

238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

240. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.

241. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

243. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА₁ и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что AC = AD.

244. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный.

245. Через точку пересечения биссектрис ВВ₁ и CC₁ треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.

246. На рисунке 129 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника АВС, ОЕ || АВ, OD || АС. Докажите, что периметр AEDO равен длине отрезка ВС.

Рис. 129

247. На рисунке 130 АВ = АС, AP = AQ. Докажите, что:

а) треугольник ВОС — равнобедренный;
б) прямаяО А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Рис. 130

248. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?

249. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?

250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.

251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Решение

Докажем, например, что в треугольнике АВС АВ > АС = ВС. Так как АВ + ВС > АС, то АВ > АС - ВС.

252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

253. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Ответы к задачам

234. 57°30', 57°30', 65° или 65°, 65°, 50°.

235. 73°20', 73°20' и 33°20'.

248. а) Нет; б) нет.

249. Сторона, равная 10 см.

250. а) 7 см; б) 8 см; в) 10 см.

252. 29 см и 29 см.

253. 7 см, 7 см и 11см.