Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 3. Умножение вектора на число

Произведение вектора на число

Прежде чем ввести ещё одно действие — умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй автомобиль движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т. е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля.

Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором (рис. 260, а), то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора , а длина в два раза больше, и обозначить этот вектор 2. Скорость третьего автомобиля изобразится вектором, противоположным вектору 2, т. е. вектором -2 (см. рис. 260, а). Естественно считать, что вектор 2 получается умножением вектора на число 2, а вектор -2 получается умножением вектора на число -2. Этот пример подсказывает, каким образом следует ввести умножение вектора на число.

Рис. 260

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна причём векторы и сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: На рисунке 260, б изображены вектор и векторы

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами:

Для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:
1⁰. (сочетательный закон).
2⁰. (первый распределительный закон).

3⁰. (второй распределительный закон).

Рисунок 261 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

Рис. 261

Рисунок 262 иллюстрирует первый распределительный закон. Этот рисунок соответствует случаю, когда k = 3, l = 2.

Рис. 262

Рисунок 263 иллюстрирует второй распределительный закон. На этом рисунке треугольники ОАВ и ОА₁В₁ подобны с коэффициентом подобия k, поэтому . С другой стороны, . Таким образом, .

Рис. 263

Замечание

Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение можно преобразовать так:

Применение векторов к решению задач

Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу.

Задача 1

Точка С — середина отрезка АВ, а О — произвольная точка плоскости (рис. 264). Доказать, что

Рис. 264

Решение

По правилу треугольника . Складывая эти равенства, получаем: . Так как точка С — середина отрезка АВ, то Таким образом, или

Задача 2

Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение

Пусть ABCD — данная трапеция, М и N — середины оснований ВС и AD, а О — точка пересечения прямых АВ и CD (рис. 265). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Рис. 265

Треугольники OAD и ОВС подобны по первому признаку подобия треугольников (докажите это), поэтому

Так как

то

Точка М — середина отрезка ВС, поэтому

Аналогично

Подставив в это равенство выражения (1) для

получим:

Отсюда следует, что векторы коллинеарны, и, значит, точка О лежит на прямой MN.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажем теорему о средней линии трапеции.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство

Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD (рис. 266). Докажем, что

По правилу многоугольника Сложив эти равенства, получим:

Но М и N — середины сторон АВ и CD, поэтому и Следовательно, откуда

Так как векторы сонаправлены, то векторы также сонаправлены, а длина вектора равна AD + BC. Отсюда следует, что и

Теорема доказана.

Практические задания

775. Начертите два неколлинеарных вектора начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О отложите векторы, равные

776. Начертите два неколлинеарных вектора и постройте векторы:

Выполните задания а) — е) для двух коллинеарных ненулевых векторов .

777. Начертите два неколлинеарных вектора начала которых не совпадают. Постройте векторы

778. Начертите попарно неколлинеарные векторы Постройте векторы:

Задачи

779. Дан вектор Как направлен каждый из векторов по отношению к вектору Выразите длины этих векторов через .

780Докажите, что для любого вектора справедливы равенства:

781. Пусть Выразите через векторы:

782. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы через векторы

783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы через векторы

784. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что Выразите через векторы следующие векторы:

785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что

786. Отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ — медианы треугольника АВС. Выразите векторы через векторы

787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор через векторы

Применение векторов к решению задач

788. Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника АВС.

Решение

Пусть АА₁, ВВ₁, СС₁ — медианы треугольника АВС. Тогда

(см. задачу 1, п. 87). Сложив эти равенства, получим

Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов по правилу многоугольника (п. 84), то получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник MNP на рисунке 267).

Рис. 267

789. На сторонах треугольника АВС построены параллелограммы АВВ₁А₂, ВСС₁В₂, АСС₂А₁. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂.

790. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

791. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

792. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).

Средняя линия трапеции

793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.

794. Сторона АВ треугольника АВС разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.

795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

796. Из концов диаметра CD данной окружности проведены перпендикуляры СС, и DDl к касательной, не перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DDU если ССг = 11 см, a CD = 27 см.

797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

798. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.

799. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.