Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 1. Многогранники

Предмет стереометрии

Последняя глава является введением в стереометрию — это тот раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Более основательно вы будете заниматься стереометрией в старших классах, а здесь мы познакомим вас с некоторыми пространственными фигурами и формулами для вычисления их объёмов и площадей поверхностей.

До сих пор мы занимались планиметрией — изучали свойства плоских геометрических фигур, т. е. фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве своём не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» — объёмный, пространственный и «метрео» — измерять.

В стереометрии наряду с простейшими фигурами — точками, прямыми и плоскостями рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (рис. 335, а). Он составлен из шести равных квадратов. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (рис. 335, б). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 335, в).

Рис. 335

В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделённую от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела. Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела. Так, например, сечением шара является круг (рис. 336).

Рис. 336

При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирают то из них, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования её свойств. На рисунках 337, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 337, в — конус. Невидимые части фигур изображены штриховыми линиями.

Рис. 337

В этой главе мы рассмотрим некоторые виды многогранников и тела вращения — цилиндр, конус, шар, приведём формулы, по которым вычисляются их объёмы и площади поверхностей. При этом мы будем опираться в основном на наглядные представления. Более полное обоснование описанных фактов и формул будет дано в систематическом курсе стереометрии, изучаемом в 10—11 классах.

Многогранник

Напомним, что в планиметрии при изучении многоугольников мы рассматривали многоугольник либо как замкнутую линию, составленную из отрезков и не имеющую самопересечений (рис. 338, а), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая её саму (рис. 338, б). При изучении многогранников мы будем пользоваться вторым толкованием многоугольника.

Рис. 338

С одним из самых простых многогранников — прямоугольным параллелепипедом — вы знакомы давно. Этот многогранник составлен из шести прямоугольников (рис. 339, а). Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы. На рисунках 339, б, в, г изображены другие многогранники: куб (это прямоугольный параллелепипед, составленный из шести равных квадратов), тетраэдр, октаэдр.

Рис. 339

Можно сказать, что многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называется многогранником.

Тетраэдр и октаэдр (рис. 339,в, г) составлены соответственно из четырёх и восьми треугольников, что отражено в названии этих многогранников: по-гречески «тетра» — четыре, а «окто» — восемь.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, а гранями тетраэдра и октаэдра — треугольники. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. На рисунке 339, а отрезок MN — диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке 339 изображены выпуклые многогранники, а на рисунке 340 — невыпуклый многогранник.

Рис. 340

Призма

Многогранник, называемый призмой, можно построить следующим образом. Рассмотрим параллельные плоскости α и β, т. е. такие плоскости, которые не имеют общих точек. В плоскости а возьмём какой-нибудь многоугольник A₁A₂...A_n, а в плоскости β— равный ему многоугольник В₁В₂...В_n, причём так, чтобы равные стороны А₁А₂ и В₁В₂, А₂А₃ и В₂В₃, ..., А_nА₁ и В_nВ₁ этих многоугольников были параллельными сторонами четырёхугольников А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂, ..., А_nА₁В₁В_n (рис. 341).

Рис. 341

Поясним, что понимается под параллельностью прямых в пространстве. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Указанные четырёхугольники являются параллелограммами. В самом деле, например, в четырёхугольнике А₁А₂В₂В₁ противоположные стороны А₁А₂ и В₁В₂ по построению равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм

n-угольной призмой называется многогранник А₁А₂...А_nВ₁В₂...В_n, составленный из двух равных л-угольников А₁А₂...А_n и В₁В₂...В_n — оснований призмы и n параллелограммов А₁А₂В₂В₁, ..., А_nА₁В₁В_n — боковых граней призмы. Отрезки А₁В₁, ..., А_nВ_n называются боковыми рёбрами призмы. Все они равны и параллельны друг другу.

Призмы бывают прямыми и наклонными. Чтобы дать определение прямой призмы, введём понятие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая а, пересекающая плоскость а в некоторой точке Н (рис. 342), называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости а и проходящей через точку Н. Рис. 342 Перпендикулярность прямой α и плоскости а обозначается так: a ⊥ α.

Рис. 342

Если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).

Рис. 343

Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведём через неё прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую её в точке В (рис. 344). Отрезок АВ называется высотой призмы. В курсе стереометрии 10—11 классов доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу.

Рис. 344

Параллелепипед

Четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.

Рис. 345

Если параллелепипед прямой, т. е. его боковые рёбра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани — прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Оказывается, что аналогичным свойством обладают диагонали параллелепипеда:

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. В том случае, когда все три прямые лежат в одной плоскости, это утверждение было доказано в п. 28. В общем случае оно будет доказано в курсе стереометрии 10—11 классов.

Обратимся к рисунку 346, а, на котором изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку грани ABCD и ADD₁A₁ — параллелограммы, то BC || AD, BC = AD, A₁D₁ || AD, A₁D₁ = AD. Из этого следует, что BC = A₁D₁ и ВС || A₁D₁, поэтому четырёхугольник A₁D₁CB — параллелограмм, а значит, его диагонали А₁С и D₁B, являющиеся также диагоналями параллелепипеда, пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам.

Рис. 346

Аналогично доказывается, что четырёхугольник AD₁C₁B — параллелограмм (рис. 346, б), и, следовательно, его диагонали АС₁ и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали А₁С, D₁B и АС₁ параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Наконец, рассматривая четырёхугольник A₁B₁CD (рис. 346, в), точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB₁ проходит через точку О и делится ею пополам.

Объём тела

Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Как мы помним, каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объём, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объёмов. За единицу измерения объёмов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле. Ясно, что число, выражающее объём тела, зависит от выбора единицы измерения объёмов. Поэтому единица измерения объёмов указывается после этого числа.

Например, если в качестве единицы измерения объёмов взят 1 см³, и при этом объём V некоторого тела оказался равным 2, то пишут: V = 2 см³.

Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объёмов и её частей, сколько и другое тело. Таким образом,

Рассмотрим тело, составленное из нескольких тел так, что внутренние области этих тел не имеют общих точек (рис. 347). Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляющих его тел. Итак,

Рис. 347

Свойства 1⁰ и 2⁰ называются основными свойствами объёмов. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников.

Для нахождения объёмов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери¹.

¹ Кавальери Бонавентура (1598—1647) — итальянский математик.

Рис. 348

Доказательство теоремы, выражающей принцип Кавальери, основано на понятии определённого интеграла, которое будет введено в 11 классе в курсе алгебры и начал математического анализа. Мы примем эту теорему без доказательства.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трёх рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. Так, у прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 349, в качестве измерений можно взять длины рёбер АВ, AD и АА₁.

Рис. 349

У прямоугольника два измерения — длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

В самом деле, обратимся к рисунку 349, на котором изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, и докажем, что

Ребро СС₁ перпендикулярно к плоскости грани ABCD, т. е. перпендикулярно к любой прямой, лежащей в плоскости этой грани и проходящей через точку С. Поэтому угол АСС₁ — прямой. Из прямоугольного треугольника АСС₁ по теореме Пифагора получаем:

Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC² = AB² + AD². Кроме того, СС₁ = ВВ₁ = АА₁ Следовательно,

что и требовалось доказать.

Остановимся ещё на одном свойстве, иллюстрирующем аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями a, b, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» на плоскости α (рис. 350, а). Этот куб является единицей измерения объёмов, т. е. его объём равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, даёт в качестве сечения куба квадрат площади 1, а в качестве сечения рассматриваемого параллелепипеда — прямоугольник площади ab (см. рис. 350, а). Следовательно, согласно принципу Кавальери, объём этого параллелепипеда в ab раз больше объёма куба, т. е. равен аb.

Рис. 350

Рассмотрим теперь два прямоугольных параллелепипеда: один с измерениями а, b, 1, а другой — с измерениями а, b, с, «стоящие» на плоскости α так, как показано на рисунке 350, б. Объём первого параллелепипеда, как было доказано, равен ab. Докажем, что объём второго параллелепипеда равен abc.

Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, даёт в качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник площади α, а в качестве сечения второго — прямоугольник площади ас (см. рис. 350, б). Поэтому объём V второго параллелепипеда в с раз больше объёма первого и, следовательно, равен V = abc, что и требовалось доказать.

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями а, b, с, изображённом на рисунке 350, б, площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b. Поэтому формулу V = abc можно записать в виде V = Sh, т. е. объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Оказывается, что в точности такая же формула имеет место для любой призмы: объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Это утверждение нетрудно доказать с помощью принципа Кавальери (см. задачу 1198).

Пирамида

Рассмотрим многоугольник А₁А₂...А_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника (рис. 351), получим n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃, ..., РА_nА₁. Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n и этих треугольников, называется пирамидой.

Рис. 351

Многоугольник А₁А₂...А_n называется основанием пирамиды, а указанные треугольники — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА₁, РА₂, ..., РА_n — её боковыми рёбрами. Пирамиду с вершиной Р и основанием A₁A₂...A_n называют n-угольной пирамидой и обозначают так: РА₁А₂...А_n. На рисунке 352 изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды. Треугольную пирамиду часто называют тетраэдром.

Рис. 352

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды. На рисунке 351 отрезок PH — высота пирамиды.

Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.

На рисунке 353 отрезок РЕ — одна из апофем. Можно доказать, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу (задача 1205).

Рис. 353

Рассмотрим куб со стороной а и проведём его диагонали (рис. 354). В результате куб окажется разбитым на шесть равных друг другу правильных четырёхугольных пирамид с общей вершиной в точке пересечения диагоналей куба. У каждой из этих пирамид основанием является квадрат со стороной а, высота равна , а объём в шесть раз меньше объёма куба, т. е. равен

Рис. 354

Но где S = а² — площадь основания пирамиды, — её высота. Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания а и высотой h равен одной трети произведения площади основания на высоту. Основываясь на этом факте, можно доказать (см. задачу 1210), что аналогичное утверждение справедливо и для произвольной пирамиды: объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Задачи

1184. Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?

1185. Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число рёбер кратно 3.

1186. Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению периметра основания на боковое ребро.

1187. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

1188. На трёх рёбрах параллелепипеда даны точки А, В и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение

При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

1) Рассмотрим сначала случай расположения точек А, В и С, изображённый на рисунке 355, а. Проведём отрезки АВ и ВС. Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку А проведём в плоскости «передней» грани прямую, параллельную ВС, а через точку С в плоскости боковой грани проведём прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки Е и D (рис. 355, б). Остаётся провести отрезок DE, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено.

Рис. 355

2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356,а. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки АВ и ВС (см. рис. 356, а), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок АВ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок АВ, до пересечения в точке М (рис. 356, б). Далее, через точку М проведём в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведём прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проведём отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.

Рис. 356

1189. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью¹: а) АВС₁: б) АСС₁. Докажите, что построенные сечения — параллелограммы.

¹ Для краткости записи плоскость, проходящую через точки А, В и С₁, мы называем плоскостью АВС₁; аналогичные обозначения плоскостей используются и в других задачах.

1190. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте точки М и N соответственно на рёбрах ВВ₁ и СС₁. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой AM с плоскостью А₁В₁С₁.

1191. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В₁, D₁ и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

1192. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на рёбрах: а) ВВ₁, АА₁, AD; б) СС₁, AD, ВВ₁.

1193. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39, 7, 9.

1194. Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба.

1195. Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объёмы V₁ и V₂. Выразите объём V тела R через V₁ и V₂, если:

а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек;
б) тела Р и Q имеют общую часть, объём которой равен

1196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.

1197. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АС₁ = 13 см, BD= 12 см и ВС₁ = 11 см.

1198. Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим призму и прямоугольный параллелепипед с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости (рис. 357).

Рис. 357

Докажем, что объём призмы равен Sh. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости оснований, даёт в качестве сечения призмы равный её основанию многоугольник площади S, а в качестве сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник площади S. Следовательно, объём призмы равен объёму параллелепипеда. Но объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т. е. равен Sh. Поэтому и объём призмы равен Sh.

1199. Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если ∠BAC= 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см².

1200. Найдите объём правильной «-угольной призмы, все рёбра ко торой равны а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

1201. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?

1202. Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.

1203. Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN.

1204. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точки М и N на рёбрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

1205. Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

1206. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

1207. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

1208. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

1209.* Через точку Н₁ высоты PH пирамиды РА₁А₂...А_n проведена секущая плоскость β, параллельная плоскости α её основания.

Докажите, что площадь полученного сечения равна , где S — площадь основания пирамиды.

Решение

Докажем это утверждение сначала для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду РА₁А₂А₃ и докажем, что рассматриваемое сечение представляет собой треугольник В₁В₂В₃, подобный треугольнику А₁А₂А₃ с коэффициентом подобия (рис. 358, а). Прямоугольные треугольники РНА₁ и РН₁В₁ подобны по двум углам (угол Р — общий; ∠PH₁B₁ = ∠PHA₁ = 90°, так как в противном случае прямые НА₁ и Н₁В₁, а значит, и плоскости α и β пересекались бы, что противоречит условию), поэтому Аналогично из подобия треугольников РНА₂ и РН₁В₂ находим: . Таким образом, , откуда следует, что треугольники РВ₁В₂ и РА₁А₂ подобны по второму признаку подобия треугольников. Поэтому . Точно так же доказывается, что и Таким образом, треугольники В₁В₂В₃ и А₁А₂А₃ подобны с коэффициентом подобия , и, следовательно, площадь треугольника В₁В₂В₃ равна

Рис. 358

Рассмотрим теперь произвольную пирамиду. Её можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой РН (на рисунке 358, б показано разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Поэтому площадь сечения равна

1210. Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пирамиды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирамиду с площадью основания S и высотой PH = h и правильную четырёхугольную пирамиду с высотой QO = h и стороной основания 2к (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём второй пирамиды равен . Требуется доказать, что объём V первой пирамиды равен .

Рис. 359

Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости оснований пирамид и пересекающую высоты PH и QO в точках Н₁ и О₁ соответственно. Площадь сечения первой пирамиды равна а площадь сечения второй — (см. задачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что PH₁ = QО₁ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов). Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в раз больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её объём V в раз больше, т. е. что и требовалось доказать.

1211. Найдите объём пирамиды с высотой h, если: а) h = 2м, а основанием является квадрат со стороной 3 м; б) h = 2,2 м, а основанием является треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС =13,5 см, ∠ABC = 30°.

1212. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна m, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен α.

Ответы к задачам

1184. а) 6, 12, 8; б) 4, 6, 4; в) 8, 12, 6.

1187. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

1189. а) Параллелограмм ABC₁D₁; б) параллелограмм АСС₁А₁.

1190. Искомой точкой является точка пересечения прямых: a) MN и ВС; б) AM и A₁B₁.

1191. Указание. Сначала через середину ребра CD провести прямую, параллельную B₁D₁.

1192. Указание, а) Сначала через точку М провести прямую, параллельную NK, и далее рассмотреть отдельно случаи, когда эта прямая пересекается с ребром ВС и когда она пересекается с ребром СС₁; б) сначала через точку N провести прямую а, параллельную МК, и далее рассмотреть отдельно три случая: прямая а пересекает ребро АА₁; прямая а пересекает ребро DD₁; прямая а совпадает с AD.

1193. a) √6; б) 17; в) 13.

1194. а√3.

1195. a) V = V₁ + V₂; б)

1196. 12 см.

1197. 240√2 см³.

1199.

1200. а) ; б) а³; в) ; г) 2а³ ctg 22°30'.

1201. Нет.

1207. √58 см, √58 см, √65 см, √65см.

1208. 3а².

1211. а) 6 м³; б) 4950 см³.

1212.