Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 2. Тела и поверхности вращения

Цилиндр

Возьмём прямоугольник ABCD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром. Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ — его высотой. При вращении сторон AD и ВС образуются два равных круга — они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра.

При вращении стороны CD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, — образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Рис. 360

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1213), что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

На рисунке 361, а изображён цилиндр с радиусом r и высотой h. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что получился прямоугольник АВВ'А', стороны АВ и А'В' которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра (рис. 361, б). Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Сторона АА' прямоугольника равна длине окружности основания, а сторона АВ равна высоте цилиндра, т. е. AA' = 2 πr, AB = h.

Площадь S_6oк боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки, т. е. S_6oк = 2 πrh.

Рис. 361

Конус

Возьмём прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362). В результате получится тело, которое называется конусом. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ — его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим кондом А. Её называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, — образующими конуса. Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Рис. 362

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1219), что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Иначе говоря, объём V конуса выражается формулой , где r — радиус основания конуса, h — его высота.

Рассмотрим теперь конус, у которого радиус основания равен r, а образующая равна l (рис. 363, а). Его боковую поверхность можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор (рис. 363, б). Радиус этого сектора равен образующей конуса, т. е. равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. равна 2πr.

Площадь S_бок боковой поверхности конуса равна площади её развёртки, т. е.

Рис. 363

где α — градусная мера дуги сектора (см. рис. 363, б). Длина дуги окружности с градусной мерой а и радиусом l равна . С другой стороны, длина этой дуги равна 2 πr, т. е. , поэтому

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой:

Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 364). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо её точкой, также называется радиусом сферы.

Рис. 364

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Ясно, что диаметр сферы радиуса R равен 2R.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Ясно, что шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и саму точку О), и не содержит других точек. Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра (рис. 365). При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.

Рис. 365

Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объём шара радиуса R равен (см. задачу 1224).

В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки. Вопрос о том, что понимать под площадью сферы и как её вычислить, будет рассмотрен в курсе стереометрии в 11 классе. Здесь же отметим, что для площади S сферы радиуса R получается формула:

S = 4 πR².

Один из возможных способов получения этой формулы даёт задача 1225.

Задачи

1213. Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объём цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен Sh. Поэтому и объём цилиндра равен Sh.

Рис. 366

1214. Пусть V, r и h — соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если u = 2√2 см, h = 3 см; б) r, если V = 120 cм³, h = 3,6 см; в) h, если r = h, V = 8π см³.

1215. В цилиндр вписана правильная п-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное натуральное число.

1216. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1217. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?

1218. Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = b.

1219.*Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами PH = h и QO = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости α (рис. 367). Докажем, что объём конуса равен 1/3•Sh

Рис. 367

Проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости а и пересекающую высоты PH и QO в точках Н₁ и O₁ соответственно. В сечении конуса плоскостью β получится круг радиуса Н₁А₁. Треугольники РН₁А₁₁и PHА подобны по двум углам (∠P — общий, ∠PH₁А₁ = ∠PHA = 90°, так как в противном случае прямые НА и Н₁А₁, а значит, и плоскости α и β пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому , откуда , и площадь сечения конуса равна

Площадь сечения пирамиды равна (см. задачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что РН₁ = QO₁ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды, т. е. равен 1/3•Sh что и требовалось доказать.

1220. Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V=48 π cм³; в) r, если h = m, V = p.

1221. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

1222. Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм². Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.

1223. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

1224.* Докажите, что объём шара радиуса R равен

Решение

Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости а так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости α и пересекающую радиус шара ОА, перпендикулярный к плоскости α, в точке А₁, а высоту ВН конуса — в точке В₁.

Сечение половины шара представляет собой круг радиуса (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна π (R² - OA²).

Рис. 368

Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса В₁В₂ (см. рис. 368), т. е. равна Но В₁В₂ = ВВ₁ (объясните почему) и, кроме того, ВВ₁ = ОА₁ (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов).

Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объём половины шара равен объёму этого тела. В свою очередь, объём V тела Т можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса:

Итак, объём половины шара равен и, следовательно, объём всего шара равен

1223. Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.

Решение

Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен

При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:

Замечание

Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом R сферы, то величина S приблизительно равна . Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину 4πR².

1226. Пусть V — объём шара радиуса R, S — площадь его поверхности. Найдите: a) S и V, если R = 4см; б) R и S, если V = 113,04 см³; в) R и V, если S = 64π см².

1227. Диаметр Луны составляет (приближённо) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

1228. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

1229. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?

1230. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

1231. Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?